达到证明原不等式的类型题.

例2  已知 , ,求证 （ 为自然对数的底）.

    证  （分析 要证 ,只需证 ,即证  )

    设    ( ),则 ,因为 ,

所以　　源'自:吹冰`!论~文'网www.chuibin.com

故 ,则 在 上递增.

    又因为 ,所以 ,故  ,

 ,所以 成立.

     由上可得,解决这类问题的关键在于构造函数,其次要把证明的不等式变形,然后

在相应的区间上利用导数的相关知识判断其单调性,再用单调性来证明不等式.

2.2  拉格朗日中值定理预备知识

 定理  （拉格朗日中值定理) 若函数 满足如下条件：

     1.  在闭区间 上连续；

     2.  在开区间 内可导,

则在 内至少存在一点 ,使得

利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤如下：

1.首先确定辅助函数及自变量所在的区间；

2.其次验证辅助函数在区间内满足拉格朗日中值定理的条件,从而得到

  , ；3.对 求导,从而得到 ,由此来建立一个不等式；

4.由 的范围确定 的范围,以此来验证不等式.

例3  证明若函数 在 上可导,且 ,则 .

    证  因为 在 上可导,所以 满足拉格朗日中值定理的条件,由拉格朗日中值

定理知,存在 ,使得