试探方程法与方程的精确解(2)
（1）
这里 一般是其变元的多项式，其中含有非线性项及线性出现的最高阶偏导数项．
一个函数 称为是方程(1)的拟解，如果存在单变元函数 ,使得 关于 的一些偏导数的适当的线性组合，即
（2）
其中 关于 和 的低于 阶的偏导数的适当线性组合, 满足(1)、(2)中的非负整数 单变元函数 以及函数 都是待定的，将(2)代入(1)中可通过以下步骤确定它们：
首先，使高阶偏导数项中包含的 的偏导数的最高幂次和非线性项中包含的关于 的偏导数的最高幂次相等，来决定非负整数 及 是否存在．
其次，合并 的偏导数的最高幂次的全部项，使其系数为零，而得 满足的常微分方程，解之可得 ，一般是对数函数．
第三，将 的各阶导数的非线性项，用 的较高阶的导数来代替，再将 的各阶导数项分别合并在一起，并令其系数为零，而得 的各次齐次型的超定偏微分方程组．适当选择(2)中线性组合的系数，使得超定偏微分方程组有解．
最后，若前三步的解答是肯定的，将这些结果代入(2)中，经过一些计算就得到(1)的精确解．
1.2多项式完全判别系统法
为寻求某些非线性数学物理方程的精确行波解，我们常常将这些方程
约化为如下常微分方程
（3）
其中， 是参数，那么上述方程可以写成积分形式
（4）
因此，为求解方程，我们只需求解（4）式.根据不同的参数，我们可以给出积分式的不同解，其中最重要步骤的就是确定参数的范围及相应的积分解，利用多项式完全判别系统。我们可以求出原非线性数学物理方程相应的所有单行波解的分类。对于许多非线性数学物理方程，它们的精确行波解都是形如（4）式的积分形式，其中 常常和一些多项式有关，通过利用多项式完全判别系统就可以求出这些方程的精确解，他们是该方程所有单行波解的分类，这就是多项式完全判别系统法.
下面通过二阶多项式完全判别系统法和三阶多项式完全判别系统法对经由试探方程法所求解的1+1文Camassa-holm方程和1+1文Ostrovsky方程的进行了相关计算及根的探讨.
2.试探方程法的主要步骤
第一步，对于所考虑的非线性方程 （5）
做行波变换 （6）另外
这里， 为行波参数.
经行波变换后我们可以得到非线性常微分方程（7）
第二步，取试探方程 （8）
其中 为常数，由（8）式可以导出
（9）
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