摘要：结合举例，系统地总结和阐述了利用直角坐标系，柱坐标系，球坐标系以及三重积分的定义，计算三重积分的方法。

毕业论文关键词：三重积分，坐标变换，柱坐标变换，球坐标变换59248

Abstract：we summarize and expound the methods of using the rectangular coordinate system, cylindrical coordinates,spherical coordinates and the definition of the triple integral by examples to calculate the triple integral systematically.

Key words：triple integral,transformation of coordinates，cylindrical coordinate transformation，spherical coordinate transformation

1引言1

2直角坐标系下三重积分计算的例题分析1

3柱坐标系下三重积分计算的例题分析3

4球坐标系下三重积分计算的例题分析5

5利用三重积分的定义进行三重积分计算的例题分析7

结论9

参考文献10

致谢11

1 引言

三重积分的计算是初学者的一个难点．计算三重积分即要将它化成累次积分，教材中给出了计算公式，换元法和定限法 ，因此我们需要根据被积函数的特性灵活选择公式和方法，以便于计算．然而三重积分的计算困难除了被积函数的原因外还在于积分区域的多样性 ；而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面，即问题主要集中在不会确定单积分的上下限 或者说不会用不等式组将积分区域表示出来 ．另外，用不等式组将积分区域表示出来时常需要借助积分区域的草图 ，而初学者在作草图方面也存在较大困难．其中的方法和技巧学生难以把握，为了更好地培养这方面的能力，本文将系统总结和探讨针对各种不同被积函数和积分区域的特点进行积分的一般步骤，选择坐标变换的技巧 ．通常情况下，我们可以直接根据三重积分的定义直接计算积分，也可以利用柱坐标系,球坐标系或者直角坐标系计算三重积分 ．

2 利用直角坐标系计算三重积分源]自[吹冰^`论\文"网·www.chuibin.com/

三重积分的计算可以化为算一个定积分和算一个二重积分，从而也就化为算三个定积分的问题.在空间直角坐标系中,总是用平行于三坐标面的平面来分割 ,故体积元素 ,这时三重积分 .

    (1)化为先对 或者先对 或者先对 的三次积分，有以下三种情形：

     ①如果积分区域 在 平面上的投影为 

 的边界曲面分为两部分的方程各为 及 ( )

即积分区域V由不等式组  所确定，则有 

②如果积分区域V由不等式组表示为 所确定，则有

 .③如果积分区域V由不等式组表示为 所确定，则有 .

例1 将三重积分 化为直角坐标系的累次积分，其中积分区域V由 和 所围成.

   解 先画出区域 如图。其中两个曲面的交线 为 之解,即 ,先令

 ，则上述方程变为 解得 ，所以交线 ,积分区域 为 平面上的投影为 

    在直角坐标系下，表示区域 的不等式组为