摘  要：线性变换在几何学中有着广泛的应用，例如最常见的旋转、缩放、剪切、反射以及正交投影等几何变换都是线性变换. 事实上, 线性变换可用相应的变换矩阵表征，而矩阵对角化在线性变换中有着重要作用. 本文主要探讨了矩阵对角化的条件和方法，以及其在数列通项的计算等方面的应用.60907

Abstract：Linear transformations are widely used in geometry, for example, the most common types of geometric transformations: rotation、scaling、shear、reflection and orthogonal projection are linear transformations. In fact，linear transformation can be represented by the corresponding transformation matrix and matrix diagonalization plays an important role in it. This thesis mainly studies the conditions and methods of matrix diagonalization and then gives some applications of it, such as the computation of general term of a sequence.

Keywords：linear transformation, matrix, diagonalization, method, application 

1引言 4

2  从几何变换到线性变换 4

2.1  欧氏几何中的线性变换 4

2.2  线性变换与对应矩阵 7

3  线性变换对角化的条件 10

4  线性变换对角化的方法 13

4.1  初等变换法 13

4.2  特征值特征向量法 13

4.3  一类特殊矩阵的对角化方法 16

5 线性变换对角化的若干应用 17

5.1  将二次型化为标准形 17

5.2  求线性递推数列的通项 17

5.3  求解一类对角线行列式 18

结论 20

参考文献 21

致谢 22 

1  引言

线性变换和线性变换的对角化是高等代数中的重要内容. 在几何学中，许多几何变换的代数形式都是线性变换式. 在线性变换中还经常遇到不同基下变换的转化和化简，这就涉及到线性变换的对角化问题. 然而，线性变换的对角化问题又与矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、特征根以及特征方程组等高等代数的理论和知识相联系. 因此，研究线性变换的对角化问题有着重要的意义.其中文献［3］对线性变换对角化问题已经有所研究，文献［4］对矩阵向量空间上线性变换的对角化也做了简单探讨，而本文从几何中的变换入手，分析了线性变换与对应矩阵的关系，探讨了线性变换对角化的条件和方法，并通过若干实例来说明了线性变换对角化的应用.

2  从几何变换到线性变换文献综述

2.1  欧氏几何中的线性变换

在中学学习平面几何时，平移、旋转和反射是最重要的几何变换.

    ⑴ 平移： 将平面 上的每一点 都沿着同一个方向平行移动相同距离的变换称为平面 上的一个平移变换，简称平移．

取定平面 上的一个向量 ，作 ， ，使得 ，则 就是平面 上的一个平移， 为 的平移向量．

建立直角坐标系 ，设 的坐标为 ，点 和 的坐标分别是 和 ．

因为 ，由图1可得，平移变换的代数表达式为 

⑵ 旋转： 在平面 上取一定点 ，将 上的每一点 都绕点 旋转相同的角度 的变换，称为平面 上以 为中心、旋转角 的一个旋转变换，记作 或 ．

设 为 上任一点，作变换  ， ，使得 ，则 就是平面 上的一个旋转．

建立以旋转中心 为坐标原点的直角坐标系 （见图2），设点 和 的坐标分别是 和 ．

那么，旋转变换 的代数表达式为

可以利用矩阵表示成以下形式源]自=吹冰-·论~文"网·www.chuibin.com/

⑶ 反射：设 为平面 上的一条定直线．将 上的每一点 变为关于直线 的对称点 的变换，称为 上以 为反射轴的一个轴反射变换，记作 ．