Jensen不等式及其应用+文献综述(2)
所以 .
推论3. 若 ，且 ，则有
证明：已知 ，设 或 ，有 ，取
对任意 ，有 .
由Jensen不等式可知，有
故命题得证.
3.Jensen不等式的应用
Jensen不等式的应用范围很广，不仅可以用于求解不等式问题，还可用于证明一些重要不等式定理．
3.1求解不等式问题
例1.证明不等式 ，其中a,b,c都是正数．
证明：设 由 的一阶和二阶导数 ，
由此可知 在 时为严格凸函数.
根据Jensen不等式得 ，则 ，即 又因为 ，所以 .
例2.设 是锐角三角形，求证： .
证明：由题易知 在 上是凸函数，其中A,B,C
则由Jensen不等式可知 ， 其中取 则 . 即
又因为 ，所以 故 .
例3.若 ，则有 .
证明：构造函数 ，则 所以 是凸函数. 应用Jensen不等式可得
取 ，满足 . 所以 故 .
例4.若a、b、c为任意的正数，则有 .
证明：构造函数 ， ，易知此函数是凸函数.
由Jensen不等式可知， 取 . 可得： 由此推出： .
例5.已知a,b,c,d,e都为实数且 ， ，试着确定e的取值范围.
解：构造函数 ，则 在 上恒成立.
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