隐函数在数学分析中的应用探讨(2)
本文在老师的指导下，通过查阅相关参考文献，对隐函数定理在求极值、几何应用等方面进行了探讨，通过实例给出了隐函数理论应用的思路与技巧，加深了对隐函数理论的理解.
1.预备知识
定义1.1(隐函数)若自变量 与因变量 之间的对应关系 是由某个方程 所确定的.即有两个非空数集 与 ，对任意 ，通过方程 对应唯一一个 ，这种对应关系称为由方程 所确定的隐函数.记为 , , .则成立恒等式 ,
有的隐函数不能写成 的形式，如 ,于是隐函数不一定是函数，而是方程.事实上，函数都是方程，而方程却不一定是函数.
定义1.2(隐函数组)设有方程组 (1)
其中 , 为定义在 上的四元函数.若存在平面区域 ，对于 中每一点 ,有唯一的 ，使得 ,且满足方程组(1),则由方程组(1)确定了隐函数组
( ) , ( ) ,并在 上成立恒等式 ( ) .
定义1.3(反函数组)设有函数组 , (2)
如果能从函数组(2)中，把 分别用 的二元函数表示出来，即 , (3)
则称函数组(3)是函数组(2)的反函数组.
定理1.1(隐函数存在惟一性定理)若函数 ( )满足下列条件：
(1) 在以 为内点的某一区域 上连续， (2) ，
(3) 在 内存在连续的偏导数 ( ),(4) ,则
(1)存在点 的某邻域 ( ) 内，方程 ( )=0唯一地确定了一个定义在某区间 内的函数(隐函数) ,使得
当 时, ( ),且 ( ) 0, ( )= ；(2) 在 上连续.
定理1.2(隐函数可微性定理)设 满足隐函数存在唯一性定理中的条件(1)-(4),又设在 上还存在连续偏导数 ，则由方程 所确定的隐函数 在定义域 上有连续导函数，且
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