集合上的序关系及其应用+文献综述(2)
1.预备知识
本文中的记号 、 、 是指集合论意义的包含序、交、并；任一集合 (本文恒设 是给定的一个非空集合)的幂集合记为 (即将 的子集合与它的特征函数等同之)．
定义1.1 对 上的关系 考虑以下条件:
(1)自反性) ,均有 ,即是 ,其中
；
(2)(传递性) 若 ,且 ,则 ；
(3)(反对称性) 若 ,且 ,则 ．
若 适合(2)，称 是传递关系,记 ；若 适合(1),(2),称 是拟序关系,记 ；若 适合(1),(2),(3),则称 是偏序关系,记作 ； ,为偏序集．最后,如果 ,且 还适合:
(4) ,必有 ,或者 ,则称 是全序关系.
定义1.2 若对于 都有, 与 存在,则称 为格．
若半序集 的任何子集都有上、下确界，则称 为完备格．
2.几种集合上的序关系
2.1.传递关系、传递包算子
定义2.1.1 若 关于集合交和定向集并封闭,则称 是完备格，但它当 关于集合的有限并不封闭,它不是分配格.
例2.1.1 当 时 ,取 中元 ,则单元集 和 都 ,但 .
命题2.1.1 ,若 集合 上包含 的最小的传递关系 ,称 为 的传递包,记 .
(1) 是集合 上所有包含 的传递关系的集合的交；
(2) ；
(3) .
其中,对 上的关系 和 ,定义 为：
定义2.1.2 如果存在有限集合 , ，则称 是 上有限生成
的传递关系,
命题2.1.2 对 ，下面的条件是等价的:
(i) 为有限集；
(ii) 为有限生成的传递关系；
(iii) 上有限生成的传递关系 使 ；
(iv) 是 的 way-below 关系的紧元.
命题2.1.3 传递包算子 : 是保定向并的闭包算子,且其象集
但一般地, 在集合论的意义下不保持有限交或有限并.
例2.1.2 当 时,对例2.1.1中的 有
例2.1.3 当 时，取不同的 , ,有
2.2拟序关系、拟序包算子
与 类似, 也关于定向集的并和集合论的交封闭,然而当 时,它关于集合论的有限并不封闭,也不是分配格.
例2.2.1 设 中元素 互异,记
则 ,但 .
例2.2.2 设 同例5,又记 ,则在格
中, .
命题2.2.1 ,记 ,则：
(1) 是所有包含 的集 上拟序关系的集合论的交；
(2) 是包含 的集上最小的拟序关系(称 为 的拟序包)
(3)记 ,则 ；
(4) .
定义2.2.1 如果存在有限子集 , 使 ，则称 是 上有限生成的拟序关系,
命题2.2.2 对 ，下面的条件是等价的:
(i) 是有限生成的拟序关系；
(ii) 是有限集；
(iii) 是 的 way-below 关系 的紧元；
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