4 导数

导数在数学分析中是反映函数变化率的重要工具，是研究函数性质的工具，也是后续积分的理论基础，在数学分析与复变函数中导数都是主要研究内容，在数学分析中导数的概念如下：

定义（数学分析导数）设函数 在点 的某邻域内有定义，若极限

存在，则称函数 在点 处可导，并称该极限为函数 在点 处的导数，记作 .

在复变函数中函数的导数概念如下：来,自|优;尔`论^文/网www.chuibin.com

定义（复变函数导数） 设函数 = 在点 的邻域内或包括 的区域 内有定义，考虑比值

                = = （ ），

如果当 按任意方式趋于 时，即当 按任意方式趋于零时，比值 / 的极限都存在，且其值有限，则称此极限为函数 在点 的导数，并记为 ，即                    

                   =  =  ，

这时称函数 于点 可导.

通过以上公式可以发现，两种导数在定义方式、计算公式以及运算法则上均保持一致，其形式上是一样的.此外，复变函数的导数和可导性、微分与可微性是利用类比的方法从一元实变函数的相应概念推广到复数域后得到的，它们在形式上与一元实变函数的导数、微分是一致的.

但二者也有很多不同，主要表现在以下几个方面

（1）复变函数重点是考察解析函数，复变函数 在区域 内可导(或可微)的充要条件是 在区域 内解析，复变函数 在点 处解析，不仅要求在该点处的导数存在，而且存在 的一个邻域，该邻域内所有的点处， 都可导，因此，函数 在一点 处解析的要求比可导的要求严格得多.而且在判断函数的可导或解析方面比数学分析要复杂，数学分析函数的可导与可微是等价的，但复变函数的可导（或可微）的判别中不仅要求实部  是可微的或偏导存在且连续，还要满足 方程