2.2 Green 公式与Gauss 公式间的关系来,自|优;尔`论^文/网www.chuibin.com

Green公式是把区间 上的二重积分转化成区域 的边界曲线 上的线积分，而Gauss 公式则是把空间区域 上的三重积分转化为区域 的边界曲面 上的面积分.也就是说，Gauss 公式把一个函数在空间区域 上的积分与一个相关的函数在 的边界曲面 上的积分建立起了联系.这就是说，Gauss 公式在特定的情况下可以转化为Green 公式.

设区域 是以 面上闭区域 为底，且 的边界线方程为 ，侧面以 为准线，母线平行于 轴的平顶柱体，高是1，设函数

  ， .

且 ， 在 上有一阶连续偏导数.

设 由 ， ， 三部分组成，由Gauss 公式，得

其中 表示侧面 的前半曲面，设由柱面方程  得到 ； 表示 的后半曲面，设由柱面方程 

得到 其中， 为 ， 在 面上的投影， 为正方向.

同理，可得从而 .        

此式为Green 公式.这说明在特殊情况下，Gauss 公式可以转化为Green 公式.

又或者利用哈密顿算子：  ，也可以将Gauss 公式转化为

Green 公式 .