q q2

显然 p 是偶数,设 p  2k（ k 为正整数）,则有：4k2   2q2 ,则q2   2k 2 ,显然 q 也是偶数,

这与 p, q 互质矛盾,所以假设不成立,

4.3 结论是无限型的命题：

是无理数.当命题的结论是无穷的,涉及“无限”,“无穷”等词语时,从正面入手，学生对“无限” 的知识不一定掌握地很好,会使证明陷入僵局,而“无限”的反面是“有限”,这能使问题 变得简单.命题的结论是无穷的,结论涉及的对象无法一一列出,而它的反面是有限的、肯 定的,易于证明,宜用反证法.来!自-优.尔,论:文+网www.chuibin.com

例 4 证明素数是无穷的.

证明 假设素数是有限的,我们可以用 p1 , p2 ,……, pn 来表示这些素数其他任何一个 数都是复合数,且素数 p1 , p2 ,……, pn 中至少有一个能够整除它,构造一个数 A ,让它比 p1 , p2 ,……, pn 中任一个都大,从而与它们中的任一个都不同.

p1  p2 …… pn  1,但 A 不能被 p1 , p2 ,……, pn 中任一个整除,所以 A 是素数,

这与素数只有 p1 , p2 ,……, pn 矛盾,因此素数是无穷多的.

4.4 存在性命题

存在性命题的结论常常涉及“至少有”,“至多有”,“存在一个”等词语,而其反面是 “至多有”,“至少有”,“不存在任何一个数”,这都是一一对应的,而我们应用反证法都 可以解决这类问题.