对于一般区域,通常可以分解为两类区域来进行计算来!自-优.尔,论:文+网www.chuibin.com

称平面点集 D x, yy

xy y2

x, a x b为 X 型区域；

称平面点集 D x, yx

yx x2

y, c y d为 Y 型区域[1]

例 1 计算 I xydxdy ,其中 D 是由直线 y 1, x 2 和 y x 围成的闭区域.

D

解 方法一：如图 1 画出区域 D 的图形,若将它视为 X 区域,则它的积分区域为

方法二:如图 2,如果将 D 视为 Y 型区域,则它的积分限为1 y 2, y x 2 .则有

2.2 极坐标系下计算二重积分

当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为 f x2 y2 时，采用极坐 标变换

此时，变换 T 的函数行列式为 J r,cos

r cos

故 f x, y dd f r cos, r sinrdr [1].

对于解决像上述这种类似的二重积分，我们可以这样计算.

1 2 2 2 2

例 2 计算

I e xyd,其中 D 是由圆周 xy

4 所围成的闭区域.

解 积分区域的极坐标系下的积分限为： 0 2,0 r 2

2.3 广义极坐标系下计算二重积分

当积分区域是椭圆或椭圆的一部分时，与极坐标相类似,我们也可以作下面的广义极 坐标变换：

2.4 一般变量变换法计算二重积分

引理 1 设 f x, y在有界闭区间 D 上可积,变换 T ： x xu, v, y yu, v将 uv 平面由 按 段 光 滑 封 闭 曲 线 所 围 成 的 闭 区 间 一 对 一 地 映 成 xy 平 面 上 的 闭 区 域 D, 函 数 xu, v, yu, v在 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式

J u, vx, y0, u, v,

u, v

则 f x, ydxdy f xu, v, yu, vJ u, vdudv [1].



为了加深对这个引理的理解，先列举典型例题如下：论文网

例 4 计算积分 e x y dxdy , D x, y x y 1, x 0, y 0.

D

解 令 x v u, y u .则

Du, v0 u v,0 v 1，

对这种类型的二重积分，我们还可以求曲线围成的平面图形的面积，例题如下：

例 5 求曲线 x y a, x y b, y x, y x0 a b,0 围成的平面图形面积,

x y a 变换成 u a, x y b 变换成 u b, y x 变换成 v , y x 变换成 v . 所以图形面积可得