二项式定理［Binomial Theorem］是指 在n为正整数时的展开式。古时候的中国、埃及、巴比伦、印度的劳动人民, 通过了计算以下的几何图形的面积，认识了这个公

式  ，它是公式 的特殊情形，这公式在科学上很有用。

在初中我们学到怎样算 ，当n是较小的正整数，如：

     ，我们有 ；

     ，我们有 ；

 ，我们有 由于我们需要找出能够快速展开 的的方法，我们得到如下系数表：

这个三角形，在我国称为“贾宪三角”，认为是北宋数学家贾宪所首创，它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。除了杨辉的书有贾宪三角形。另外，在元朝的朱世杰的书，出版于1303年的《四元玉鉴》也有这个贾宪三角形的图。在阿拉伯数学家卡西撰写的《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上也刻有此图。此外，在欧洲，这个三角形一般被称之为“帕斯卡三角形”，因为帕斯卡在1654年也发现了这个系数表。

1665年，刚好22岁的牛顿在大学毕业前夕给出了展开式：来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

           ，

二项式定理指出：其通项公式为： ，其r项系数可表示为 ，又有 的记法，即n取r的组合数目。其中，二项式系数指形如(1 + x)的二项式n次幂展开后x的系数（其中n为自然数，k为整数），从定义可看出二项式系数的值为整数。等号右边的多项式叫做二项展开式。

在毛妍和谷峰的《三项展开式的性质及其应用》的中，我们了解了三项展开式的系数及其性质。其系数可表示为： 。

关于三项展开式的系数的性质有以下几点：

在他们的研究中，也得到了一个关于三项式系数的系数三角形表，如下所示：

 在二项式定理以及三项展开式及其性质的研究基础上，我们对四项展开式进行研究，希望获得四项展开式的系数的表达方式，进而得到一些类似三项展开式的有趣性质。