2。3 数学期望及其相关性质

定义  设离散型随机变量 的分布律为 ，如果， ，

则称    为随机变量 的数学期望，或称该分部的数学期望，简称期望或均值。

若 不收敛，则称 的数学期望不存在。

定义  设连续性随机变量 的密度函数为 。如果                       

则称                   

为随机变量 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若  不收敛，则称 的期望不存在。 

性质3  对随机变量 ，当 存在时有

定义  设函数 在可测集 上有定义，如果对于任意的实数 ，集合 都是可测集，则称 为可测集 上的可测函数，或称 在 上可测，特别的，若可测空间取为是 上的 可测空间， 是 中的 集，则 上的可测函数称为 可测函数。来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

定理  设 是 上的随机变量， 为样本空间， 的全体子集记作 ， 为概率， 可测函数，则

特别地，若 是连续型随机变量，其密度函数是 ，则

若 是离散型随机变量，其分布律为 ，则

定义  设 是 上的随机变量，若 为定义在某区间 上连续的下凸函数，则

若 为定义在某区间 上连续的上凸函数，则 

 。

3 不等式的概率证法举例

3。1 代数中不等式的概率证法举例

在运用概率方法证明不等式时，应当仔细观察不等式的特点。如下面的例1，虽然题目看起来十分复杂，但是仔细观察就会发现，每个括号中的式子可以化简为个事件的和。此时如果运用一般的代数方法会显得复杂冗长，就不如用概率论中的知识来解决简单方便的多。