①  在以 为内点的某一区域 上连续，

②   (通常称为初始条件)，

③  在 内存在连续的偏导数，

④  。

则

1、存在点 的某邻域 ，在 方程 惟一确定

了一个定义在某区间 内的函数(隐函数)  ，使得当

 时, ，且 ， ；

2、 在 内连续。

注意：

1、该定理是充分不必要的。例如方程 ,在点 处不满足条件四( )，可是它依然能确定惟一的连续函数 。

2、条件三、四只是用来保证存在 的某一领域在这个领域内关于变量 是严格单调的。可以把它削弱为：  在 的某一领域上关于 严格单调。

定义2。3  假设 ，我们把一个连续并且惟一的关系 定义为解的一个分支。

定义2。4  如果解的分支在 的取值范围内两个方向上连续，那么在 的取值范围内，惟一性不在成立，这样的临界点叫做分支点。一般情况下，分支点分为极限点和分岔点。

定义2。5  设 ，且  ，若 的任何邻域中总含有 中与 不重合的点，则称 为 的极限点。

定义2。6  如果解的分支在 的取值范围上两个方向连续，那么函数的惟一性不再成立，这样的临界点叫做分岔点。

定义2。7  如果一条曲线四个分支中的两个通过该点，而且在 取值范围内，两个分支切线的符号不同，其中一个分岔解中一支是极限，则该点称为分岔-极限点。

定义2。8  若一条曲线可以由几组光滑函数来表示，几组光滑函数有交点，但曲线只通过此交点一次，则此交点称为尖点。

3  分析方法

对于隐函数 ，我们不再注重解的惟一性，而着重关注解的多重性。在满足隐函数定理前三个条件时，随着条件四（ ）不满足，可能出现多种情形。而本文主要将对极限点、分岔点、分岔-极限点、尖点等四种情况进行详细的讨论。来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

为了方便说明上面的几种情况，下面将在一维的情况下进行比较详细的探讨，即取隐函数 ，其中 。我们假设 有连续的一阶和二阶导数。

满足方程的解 可以分为下面几种类型。

首先当条件四满足，即 时，出现的点叫做正则点。

此时 ， 。在该点处 ，即满足隐函数定理所有条件。我们可以找到一条惟一的曲线通过改点。

 正则点的情形   

由于 及其偏导数 ， 在平面上任一点连续。并且

所以该函数满足隐函数存在定理中的所有条件。