为一自治系统，假设 为该系统的平衡点（ ），A为 处的Jacobi矩阵 ( )，记该矩阵A的特征值为 ，r=1,2，…，n，则系统（*）平衡点的稳定性分为如下三种情况：

  a。 如果Re( ) <0，r=1,2，…，n，则系统渐近稳定；反之亦然。

  b。 如果存在某一 ，使得Re( ) >0，则系统不稳定。

  c。 如果在 ，r=1,2，…，n中有m重特征值满足Re（ ）=0， ，当对应的特征子空间维数为m时，系统稳定，但非渐近稳定；当特征子空间维数小于m时，系统不稳定。

   除了判断系统的稳定性，我们还需要了解系统平衡点的类型，以二维系统为例（此时系统有两个特征值 和 ），我们有以下结论如图1：

  （1）如果 且二者都为实数，那么当 时平衡点为结点，且当 时结点是稳定的，当 时结点是不稳定的。

  （2）如果 和 为异号实根，则平衡点为鞍点。来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

  （3）如果 和 为一对共轭复根，那么当Re（ ）<0时平衡点为稳定的焦点，当Re（ ）>0时平衡点为不稳定的焦点。

 平面系统平衡点分类。

  为了解特征值的情况，我们考察矩阵的特征多项式，但是当n较大时，其根是不容易求的。不过，我们并不要求找出特征方程的全部根，而只要求知道所有根的实部是否均为负数，为此介绍下面的Routh-Hurwitz判别法和盛金判别法。

定理2。2 赫尔维茨（Hurwitz）判别法