定义2    假如存在这样的连续可微函数 ，使方程

                      （4）

成为全微分方程，我们把 称为方程的一个积分因子。

定义3  形如

                                   （5）

或

                       （6）

的方程，称为变量可分离方程。

定义4  如果方程

                                      （7）

的右端函数 可以改写成 的函数 ，则称方程（7）为一阶齐次方程。

定义5  形如

                         （8）

的方程称为伯努利微分方程。

例1 求方程 的通解。

解 因为 

所以原方程不是全微分方程。

如果将原方程两边同乘以 ，得到方程

这是一个全微分方程，因为此时有

所以 是原方程的一个积分因子。

则

所以原方程的通解为 ， 为任意常数。

    同理可知 也是原方程的一个积分因子,求得通解为 ， 为任意常数。

    由此例题知可以利用积分因子将非全微分方程转化为全微分方程进行求解，并且方程的积分因子不是唯一的。

3 一些特殊微分方程的积分因子

3。1 变量可分离方程

取 同乘以（6）式两端，得

                               （9）

因为

所以（9）式是全微分方程。因此 就是方程（6）的积分因子。

例2 求解方程   。

解 该方程为变量可分离方程,

取  同乘以原方程的两端得

                         （10）

因为

所以 （10）是全微分方程，因此 为原方程的一个积分因子。

    则

即 

则方程的通解为

 , 为任意常数。

3。2齐次方程

利用变换   可以将方程化为变量可分离的微分方程

两边同乘 得

                         （11）

因为

所以(11)式是全微分方程,从而   是方程（7）的积分因子。

推论1  若将齐次方程（7 ）化为微分形式来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

                    （11）

则方程（11）的积分因子为

 。

    证明 因为方程（11）是齐次方程（7）的微分形式

所以有

 ， 

由上述知齐次方程（7）的积分因子为

则将 带入得

所以方程（11）的积分因子为 。