x C1, x 0

xdx ln x Cx 0 (4)

exdx ex C

Ca 0, a 1

cos axdx a sin ax Ca 0

sin axdx a cos ax Ca 0

sec2 xdx tan x C

csc2 xdx  cot x  C

sec x tan xdx sec x C

csc x cot xdx csc x C dx

3 不定积分的几种求法

3。1 直接积分法

定理 1[1] (直接积分法） 若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数， k ， k 为两个任意

1 2来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

常数，则 k1 f k2 g 在 I 上也存在原函数，且当 k1 和 k2 不同时为零时有

k1 f x k2 gxdx  k1  f xdx  k2  gxdx。

例 1 求不定积分 pxdx。

其中 pxa0 x

an1 x an 。

解 pxdx a0

xn1 a1  xn an1  x2 a  x C。

n 1 n 2 n

例 2 求不定积分

x

解  dx x2 1

x2 1  x2 1

1  3

例 3 求不定积分

cos2 x sin 2 x

=  csc2  x  sec2  xdx   cot x  tan x  C。

注意：利用直接积分法的关键在于将被积函数恒等化为基本积分公式中的几种被积函数 的代数和，要注意的是在恒等变化时不要犯错，以及基本积分公式要牢记，不要犯错。

3。2 换元积分法

3。2。1 第一换元积分法

定理 2[1]（第一换元积分法） 设函数 f x在区间 I 上有定义，x在区间 J 上可 导，且J I。 如果不定积分 f xdx F xC 在 I 上存在，则不定积分 f t t dt 在 J 上也存在，且