2。1   压缩映射原理

    在泛函分析中，习惯把映射特别是线性空间上的映射称为算子，把值域为数集的算子称为泛函，设E是线性赋泛空间，M是E的非空子集，算子T：M→M，如果存在 使 ，则x称是算子T的不动点，在自然科学和工程技术中，常常把求解方程问题转化成求解某个算子的不动点问题，例如求解算子方程Tx=0等价于求解(I-T)x=x，I表示恒等映射，即求算子S=I—T的不动点，不动点是泛函分析的一个十分重要的研究领域。

   定义设M是线性赋范空间E的非空子集，映射T：M M，如果存在正数k 使得

                ， 

则称T是M上的一个压缩算子或压缩映射，

显然压缩算子是连续的[1]，

定理，设E是Banach空间，T：E到E是压缩映射则

1， T在E中有唯一的不动点 

2，   收敛于 [2]

证因T是压缩映射，故 k 使

           ，         

 ,构造迭代序列

则对每个n  ，有

因此对任意n，p N有

这表明 是E中的Cauchy列，因E完备，故 

因T连续，对等式

 =T 

两边取极限 得

即 是T的不动点，且有证明知 迭代序列

再证不动点的唯一性，假如另有 使 则

因为0 k 1所以必有    

    Banach压缩映射原理不仅证明了Banach空间中压缩映射不动点的存在与唯一性，而且还给出了不动点的迭代解法[2]。

下面给出Banach不动点定理的一些应用文献综述

     有一张矩形地图A B C D,缩小到另一张同样地图abcd,将小图任意放在大图上，如图所示，求证必有一点在两图中表示同一个位置。

    证，记ABCD变到abcd的变换为 ，则 是ABCD变到abcd内的映射，且按照通常意义下的距离是压缩的，即 

其中 ，于是，这是一个完备度量空间X=ABCD中的压缩映射原理，据定理1，存在  使 即点 在两图中表示同一位置，且此点是唯一的。

     设 在带状区域 上处处连续，处处有关于y的偏导数 ,且如果存在常数m,M，适合 则方程 在闭区间 上有唯一的连续函数 使 。[3]

注：① 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映射（这是难点）,然后证明此映射是压缩的，最后利用定理即得。注意到这是利用Banach压缩映射定理解题的一般方法。

① 此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数 

2。2  Brower不动点原理来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

1909年，L Brower给出了一个不动点定理，事实上，J Poincare早在1886年就给出过Brower不动点定理的一个等价形式，P Bohl于1904年又发现了这个定理。 

证明 不失一般性，设 是含有K的最低维的线性空间，则K与单位闭球 是同胚的，从而存在同胚映像f:K ,此时显然有M f C