若函数 ，并且在每个区间 上是三次多项式，其中 ，则称 是节点 上的三次样条函数．若在节点 上给定函数值 ，并且 成立，则称 为三次样条插值函数 ．设为： ．其中 待定，并要使它满足：

以上四个公式共给出 个条件，需要待定 个系数，因此要唯一确定三次插值函数，还要附加2个边界条件．通常由实际问题对三次样条插值在端点的状态给出要求．常用的边界条件有以下3种类型 ．

第1种边界条件：已知端点处的一阶导数值， ．

第2种边界条件：已知端点处的二阶导数值， ．

特殊情况： 称为自然边界条件．

第3种边界条件是周期性条件，如果 是以 为周期的函数，

于是 在端点处满足条件 ．来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

2。2  推导过程

以第1种边界条件为例，利用节点处二阶导数来表示三次样条插值函数，给出具体的推导过程．注意到 在 上是三次多项式，于是 在 上是线性函数，则 的表达式为：

对 两次积分并利用 和 可求出积分常数，得到三次样条表达式：

 这里 是未知的，为了确定 ，对 求一次导数： ，

由此可得   ． 在区间 上的表达式不同，但要保证在节点处的连续性，进而可以得到 ．利用 可得 其中

把边界条件 代入 可得到两个方程： 

将两个方程写成矩阵形式　　　 ．

方程组的系数矩阵是一个三对角矩阵并且是对角占优的，所以存在唯一解，可以用追赶法进行求解，将求得的解代入三次样条表达式 中，就可以构造出 上的插值函数．