性质6  若 为有界递增数列,则 

    性质7  加减运算性质 若 , 为有界数列,则：

                                              （1）     

                     。                        （2）               

注1 不等式（1）和（2）中的严格不等号有可能成立。例如,取 ,  ,则有： , , 。

 。

    性质8 (加减运算性质) 若 , 为有界数列,则

 。

    性质9 (乘法运算性质)  若 , ,则： 

 。

特别地,若 与 之一收敛时取等号。

    性质10（倒数运算性质）若  ,则 。

推论  若 , ,且 则数列 收敛。

4 函数上、下极限的应用来*自~优|尔^论:文+网www.chuibin.com +QQ752018766*

4。1函数上、下极限在极限运算中的应用

    例1  已知 ,求证 。

分析  这个题被用作加深学生对极限概念的理解,常见学生犯以下错误:

由于对任意 ,存在 ,当 时,有 ,所以

           (3)

令 ,得到     

 。

再由 的任意性得到 

 。

错误是预先认定了极限 的存在。

如果应用上、下极限,就可绕开极限是否存在这个问题。

证  由（3）,令 ,得到

 ,

再由 的任意性得到

    。

于是推得     

 。

类似上述过程,不少书中直接写为:“令 ,（4。1）式的左右两边分别趋于 和 。”由于 的任意性可得