(c)  ，

则依概率1有

 。

（6）随机积分不等式[30]  设 满足

 ,

其中 ，则

 。

其中 表示所有可测的， 适应的，并对满足所有的 ， 的随机过程 所构成的空间。

（7）鞅、局部鞅、二次变分[24]  一个 值 适应的可积的随机过程 满足

 。

则该随机过程称为关于 的鞅。

     如果 是一个实值平方可积连续鞅，则存在一个唯一的连续可积的适应增过程，记为 ，使得 是一个在 时等于零的连续鞅。 过程 称为 的二次变分。

     一个右连续的适应过程 称为局部鞅，如果存在一个非减的停时序列 ，满足 ，使得每个 是鞅。

     若 是连续的实值局部鞅，则存在唯一的一个连续适应的有界变差过程 ，使得 是在 时为零的连续局部鞅，过程 称为 的二次变分。

（8）Brown运动[24]  设 是带有滤子 的概率空间。 若一维实值连续 适应的随机过程 满足下列条件：

(i)  ,

(ii) 对任意的 服从均值为零，方差为 的正态分布，也就是 ,

(iii) 对任意的 与 独立，

则 称为Brown运动或Wiener过程。

3 解的存在性与唯一性

由于 和 都表示毒物的浓度，所以需要满足条件 ， 。实际上，我们有如下引理：

引理1  对模型（2），如果 ，则 ， , 。

下面总是假设条件 成立。 现在考虑模型（2）的子系统：

       (3)

系统（3）也是一个种群模型, 我们首先必须给出一些条件为保证模型（3）有唯一的全局正解。 实际上，我们有如下定理：

定理 1  对于模型（3），如果 ，则对任意给定的初值 ，模型（3）有定义在 上的唯一全局解 ，并且此解以概率1不离开 。

证明 由于模型（3）的系数满足局部Lipschitz条件，故对任意给定的初始条件 ，模型（3）存在定义在 上的唯一的局部饱和解 ，其中 表示爆炸时刻[31] 。为证明此解是全局的，仅需证明 。 为此，令 充分大，使得所有 的分量都在区间 内。 对每个整数 ，定义停时文献综述

 。

我们约定 。 显然， 关于 是单调增加的。 令 ，其中 。现只需证明 。若此结论不真，则存在 和 ，使得

 。

于是存在整数 满足

                       。                    (4)

定义如下的 函数 ：

 。

此函数的非负性可由下式看出

   。

根据Itô公式可得：

         ,              (5)

其中

      。

显然，存在常数 ,使得 。 将此不等式代入(5)中可得

 。

因此可得

 。

两端取均值可得

              。            (6)

令 ，则根据不等式（4），我们得到

 。

注意到对 ，存在一个 使得 或者等于 或者等于 ，因此 不会小于

 。

再由（6）可得

 ,

其中 是 的指标函数。 令 得出矛盾

 。

证毕。

4 解的有界性

   在上一章中，我们已经证明了模型（3）具有唯一的全局正解，接下来我们证明该解是随机有界的。