作辅助函数

容易验证 适合罗尔定理条件, 在 连续,在 可导,且

 ,

由罗尔定理知至少存在一点 使 即

 ,

亦即

    一般来说,对于 和 的线性式,如果在端点处取值相同,那么都能作为辅助函数,如下列函数

 ,

              ,

   ,

都可取作辅助函数。这些函数在 上都符合罗尔定理的条件,因此得证。             

2。3 逆推法

从要证的结论出发,若想证 ,则可以运用倒推,分析原函数 的形式,从而构造出辅助函数的方法称为逆推法。这个方法适合用在“至少存在一点 ,使得关于 及其函数的代数式成立”这类命题的证明[4]。

构造辅助函数的步骤为来*自~优|尔^论:文+网www.chuibin.com +QQ752018766*

(1)将命题中的 换成 ；

(2)进行恒等变形,使结论转换成可以消除导数符号的形式；

(3)运用观察法或者积分法得到原函数,为了方便,积分常数通常取为零；

(4)通过转换,令等式的一边为零,那么另一边就是要构造的辅助函数 。

例3  如果函数 在 上可导,且 ,则至少存在一点 ,使得 

 。

    证  令 ,  ,则 在 上连续,在 内可导,且 ,根据罗尔中值定理可知,至少存在一点 使 ,即

 ,

整理得   

 。                               

    例4  设函数 在 上可导,试证明存在 ,使得

 。

    证  将要证的结论变形为

     ,

则根据积分构造辅助函数

即 ,所以,存在 ,使得

      ,

可知结论得证。

2。4 几何意义法

在高等数学中,很多概念或者命题都具有特殊的几何意义。比方说函数在一点处的导数值等于该曲线的对应点处切线的斜率,罗尔定理的几何意义是曲线上至少存在一点处的切线平行于坐标轴以及定积分的几何意义是曲边梯形的面积等,有些问题,根据它的几何意义构造函数,然后运用已有知识证明结论[5]。