注意：在本题中，当 且 时，易知                 ,

故 不能构成推论1意义下的压缩映射（此时推论1中的 ），从而难以应用推论1来证明． 

例3[10]设 ， ，试证 收敛，并求极限．文献综述

证明：按照上述基本思想进行证明求解．

依题构造函数

                          ，

易见 在 连续且可导．

由于 ，故当 时，

则由 知

现在考虑：

从而 为压缩映射，由定理可知 收敛．

下求该数列极限，设其极限为 ，

则由 的连续性得

即 ，得 和 （舍去）．

3。3  求数列的单调性

定理3。4[13]已知 是连续函数 的一个不动点，数列 满足 ．

（1）若函数 在 内是增函数， 且 ，则 ．

（2）若函数 在 内是增函数， 且 ，则 ．

例1[13]（2005江西理21）已知数列 的各项都是正数，且满足： ，　　　　　　　， ．证明 ， ．

解：观察数列 递推关系的结构特征，可以构造函数 ．

令 ，可以解得 或 ，说明 恰是函数 的一个不动点．

又注意到函数 在 上单调递增，且 ，来*自~优|尔^论:文+网www.chuibin.com +QQ752018766*

即 ，根据定理6（I）得 ， ．

例2[13]（2008年全国卷）设函数 ．数列 满足 ， ．

（1）证明：函数 在区间 是增函数；（2）证明： ．

解：(1)当 时，

 ，

所以函数 在区间 是增函数．

（2）令 ，则 ．

又 ，所以 ，所以 ．

说明恰 是函数 的一个不动点．

因为 ， ，

所以 ． 

因为 ，所以 ，

所以 ，所以 ，

又由（1）知函数 在区间 是增函数，根据定理3。4（1）得 ． 

4  不动点在解的存在与唯一性问题的若干应用