,

在右下角的  中，全部元素都是可以被 除尽的，因为它们都是 中元素的组合。如果 ，则对于 可以重复上述过程，进而把矩阵化成     

  ,

其中 与 都是首项系数为1的多项式 ，而且 能除尽 的全部元素。

如此下去， 最后就化成了所要求的形式。最后化成的这个矩阵为 的标准形。

3  矩阵的若尔当标准形

    首先先说明一下初等因子该如何求解

用 为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是 的全部初等因子。

下面给出这种方法的理论证明

 证明  设 已用初等变换化为对角形来*自~优|尔^论:文+网www.chuibin.com +QQ752018766*

其中每个 的最高项系数都为1，将 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：

 =  ,

我们现在要证明的是,对于每个相同的一次因式的方幂 , 在 的主对角线上按递升幂次排列后,得到的新对角矩阵 与 等价。此时 就是 的标准形而且所有不为1的 就是 的全部初等因子。为了方便起见，先对 的方幂进行讨论。令 ， ,于是 ，  而且每个 都与 互素。如果有相邻的一对指数 ，则在 中将 与 对调位置，而其余因式保持不动。根据引理，

 与 ,等价。从而与对角矩阵 

等价。然后对 作如上讨论。如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含 的方幂是按递升幂次排列为止。依次对 作同样处理，最后便得到与 等价的对角矩阵 ，它的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂，都是按递升幂次排列的。