2  幂级数

2。1  幂级数的理论

    详文见参考文献[3]、[4]。

2。1。1  幂级数文献综述

形如的级数，称为幂级数，其中是任意给定的实数，，称为幂级数的系数。

2。1。2  收敛半径

若幂级数不仅在点收敛，也在实轴上其它点收敛，但也不是在每一个点都收敛，则必存在一个正数，使得

(1)当时，幂级数收敛；

(2)当时，幂级数发散；

这个称为幂级数的收敛半径，称为幂级数的收敛区间。

设幂级数的收敛半径为，其系数满足条件，或则当时，；当时，，当时，。

2。2  幂级数的性质。

1、绝对收敛性：设幂级数在处收敛，则它在处绝对收敛；若幂级数在处发散，则它在处也发散。

2、和函数的连续性：若幂级数的收敛半径，则和函数在收敛区间内连续。

3、逐项求积分：若幂级数的收敛半径，则和函数在收敛区间内可积，且可逐项积分，即

4、逐项求导数：若幂级数的收敛半径，则和函数在收敛区间内可导，且可逐项求导，即

5、收敛半径不变性：来~自,优^尔-论;文*网www.chuibin.com +QQ752018766-

（1）若幂级数的收敛半径，则对此级数逐项积分或逐项微商后所得到的新幂级数有相同的收敛半径。

（2）若幂级数的收敛半径，则和函数在收敛区间内有任意阶导数，它们可由逐项微商求得，即   

且收敛半径仍为。

6、阿贝尔定理：设幂级数的收敛半径，则 

（1）和函数在区间的左端点处收敛，则和函数在闭区间上连续；

（2）若在右端点出处收敛，则和函数在闭区间上连续。

2。3  几个常见函数的幂级数展开式