即（4）在内每一点都有             

3 Green公式的应用

3。1 计算第二类曲线积分

（1）封闭曲线可直接利用Green公式计算

例1、计算曲线积分其中L是圆周的顺时针方向。

解：设; 那么    且

利用Green公式把曲线积分化为二重积分，再利用二重积分的对称性计算其值。得

（2）非封闭曲线，需要构造封闭曲线再计算

   如果曲线L不是封闭的，需添加一个辅助曲线，使得L与构成一个封闭曲线，再利用Green公式计算。注意：的方向应该与L的方向一致。

例2、计算其中是的上半圆弧,顺时针。文献综述

解：设， 

 由于L不是封闭曲线，故构造曲线:线段AO，方向从A到O

 则由公式

（3）封闭区间里含有奇点的情况

 构造包含于L的封闭区间将奇点剖去，再利用公式计算

例3、计算其中是以点为圆心，为半径的圆周

，L为逆时针方向。

解：显然当

当时，由公式得

当时，存在奇点（0，0），构造(),且足够小

并使完全包含于L内，那么在L与所围成区域内利用公式可得：

3。2 曲线积分与积分路径的关系

   若函数在单连通区域内连续，且则沿内的任一光滑闭曲线的积分

与路线无关，只与起点及终点有关。来~自,优^尔-论;文*网www.chuibin.com +QQ752018766-

例4、设是任一一条分段光滑的闭曲线，求证：与路线无关。

证明 令

      则在平面内成立。

      故由Green公式，

例5、设为连续函数，且C为逐段光滑的闭曲线，试证：

只与曲线C的起点和终点有关，而与所取路径无关。

证明： 本题只假定为连续函数，并不可微，不能利用充要条件

但由定理2可知，当四个结论出现任意一个，即可推知其他三个结论必存在。 

   在本题中，因为连续，故可积，令