图1  微分方程的模型构建

例  物体冷却过程的数学模型

将一个物品放在空气中，在时间的时候，测得其温度是℃，10分钟后再次测得这个物品温度为℃。 确定物品的时间与温度的关系, 并计算20分钟后物品保持的温度。 假设空气的温度为℃。

解   设物体在时刻的温度为, 可得

两边积分,得到    为任意常数

令,进而                                                   

根据初始条件, 当时,   ,   得常数

于是 再根据条件分钟时,,得到 

将代入上式,得到从而,                                                       

由方程得知,当分钟时,物体的温度℃,而且当时, ℃。               

第三章  微分方程的分类与化简

3。1  一阶齐次线性偏微分方程

（1）基本概念

形如

，  （1）

的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中是自变量，是的未知函数，是域内的已知函数，并设在域内不同时为零。

（2）一阶线性齐次偏微分方程的化简来`自+优-尔^论:文,网www.chuibin.com +QQ752018766-

步骤1 首先写出一阶线性齐次偏微分方程（1）的特征方程组。

步骤2 求出常微分方程组的个独立的首次积分。

步骤3写出通解  ，

其中是各变元的任意连续可微函数。