使得并要求误差的绝对值在区间上任意一点或整个区间上比较小，即较为精确的逼近。点称为插值基点(节点)或简称为基点(节点)。基点可以随意排列。插值区间为。求插函数为，插值函数为。插值法是求的插值函数的方法，称

为(带余项的)插值公式，称为插值公式的余项。

    插值函数在个插值基点处的值与相等。在其他点用的值作为的近似值。这个过程称为插值，称为插值点。若插值点在插值区间内，这种插值称为内插；当插值点在插值区间外，但又接近于插值区间的端点时，也可以用的值作为的近似值，这种过程称为外插或外推。文献综述

    我们用作的插值函数，除了让在某些程度上更为逼近外，还期望是便于计算机计算的较简单函数，所以，插值函数常用有理分式、三角多项式和多项式等。在函数插值中，用不同的函数来逼近的效果是不同，所以选择恰当的插值函数，是要根据问题中要求的函数的性质来决定的。

    下面我们重点讲插值函数的选择。在代数插值法中，插值多项式又写作。

   2。2 三种插值多项式

   2。2。1拉格朗日插值多项式

    我们令为最高次数不大于次的实系数多项式和零多项式的集合。假设函数在取定的个互异基点处的值已知，分别为,,。。。,。现在，我们要选择一个多项式作为的插值函数，它满足条件

我们来构造这样的多项式。记

它们都是次多项式，称为Lagrange基本多项式。显然满足关系

则。在(1。2。4)式中，令，得即满足条件(1。2。1)。于是，多项式(1。2。4)就是需要的插值多项式。

假设另有多项式也满足条件(1。2。1)，令，那么，且。因为不大于n次的多项式一定没有n+l个根，即 h(x)一定是零多项式，故。因此我们可以得出下面的定理。

定理4。2。1假设是个互异基点，函数在这组基点的值是给定的，那么存在唯一的多项式满足来`自+优-尔^论:文,网www.chuibin.com +QQ752018766-

我们称(1。2。4)所表示的多项式为Lagrange插值多项式，若不全为零，则多项式是有次数的，且其次数不超过。若全为零，则是零多项式，通常，我们设函数在个互异点处的值不全为零。

例1。已知满足求的取值范围。

分析：解决本题关键是用表示，用高中知识联立方程组

，

求出并代入，从而确定的取值范围，这样做过程较烦，而使用二次函数的拉格朗日公式却恰到好处。