作成一个群，则称为群的一个子群。

定义1。2若是群的一个子群。并且对中任意元素存在, 即,则称是群的一个正规子群。

定义1。3设与是两个群。如果有一个到的映射保持运算，即

则称为群到群的一个同态映射。

定义1。4设是群到群的一个同态映射，的单位元在之下所有逆像作成的集合，叫做的核，记为。

群中所有元素在之下的像作成的集合,称为的像集，记为。

定义1。5元素的个数不小于2且只有平凡正规子群的群，称为单群。

定义1。6 交换群是满足一般的群公理，即运算的结合律，有单位元，的元素都有逆元之外，还满足交换律公理。

定义1。7如果有限，则群叫做有限生成群。

定义1。8若群的任意元素的阶均存在，则称为周期群。

定义1。9设为群，则称为的换位元,记。

定义1。10 设为群，由集合构成的的子群，称作的换位子群。记为。则

定义1。11 设为群，记归纳定义称为群的第阶导出子群。

定义1。12 二面体群是含个元素的正边形对称群。来`自+优-尔^论:文,网www.chuibin.com +QQ752018766-

定义1。13 设为群，,如果当时，必有则称是的极大正规子群。

定义1。14 设是的一个子群。如果对的每个自同态映射都不变，即对的每个自同态映射都有,则称是的一个全特征子群。

引理1。1 设是有限群的一个子群，则，进而每一子群的阶和指数属于群的阶的因数。

引理1。2设是群到群的同态满射，则

引理1。3设是群，,的全体陪集对于陪集的乘法作成群，叫做关于的商群，记为。

证由于群中子集的乘法满足结合律，故陪集的乘法也满足结合律。又陪集显然是关于陪集乘法的单位元。最