其中是实的，令从而,这里是的二元实函数。则 则是的复形式，由他的断言， 文献综述

 由复数的一些定理得到（2）

由此可得      显然 分别是的恰当积分，随之有：

                            。

同样也有一样的性质，欧拉强调了一个复函数的实部和虚部满足C。-R。方程。但他是利用积分（2）计算积分（1），由于等于原来的。

    十九世纪柯西在他的复函数理论方面的论文中，也提出了C。-R。方程 。柯西虽然提出了这个方程，并说明了这两个方程包括了由实到实过渡的理论。但是对于复函数的理论怎么包含在内并没有提到。

黎曼将一个复函数当成两个实变函数对来研究。黎曼定义解析函数从比较出发，这里是的实变函数。 存在只有当经过实数趋近于零时，极限存在。而 存在则要求的极限当依任何方式趋近于零时都存在。他定义的解析函数为当且仅当的值与微分无关。1846他得到了柯西-黎曼方程（即C。-R。方程）。

柯西-黎曼方程指两个二元实函数满足下面偏微分方程组   

。

这组方程组简称为C。-R。方程或C。-R。条件。C-R方程是复变函数论中一个重要的问题，它的应用贯穿整个复变函数论的始终。

1。2 有关C。-R。方程的重要结论

定理1。2。1[8]（可微的必要条件）设函数 在区域内有定义，且在内一点可微，则必有

（1）偏导数在点存在；

（2）在点满足C。-R。方程。

定理1。2。2[8]（可微的充要条件）设函数 在区域内有定义，则在内一点可微的充要条件是

（1）二元函数在点可微；来`自+优-尔^论:文,网www.chuibin.com +QQ752018766-

（2）在点满足C。-R。方程。

如果上述条件满足时，在点的导数能够表示为以下的形式之一：

定理1。2。3[8] 函数 在区域的充要条件是：

（1）二元函数在点可微；

（2）在点满足C。-R。方程。

定理1。2。4[8] 函数 在区域内解析的充分条件是：

   （1）在内连续；

（2）在内满足C。-R。方程。

定理1。2。5[7] 假设在上局部可积，且作为一个广义函数，它满足C。-R。方程，则在内与一个解析函数几乎处处是一致的。