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所以，将长为 D/2 的针随机仍 N 次，记 n 为针与线相交的次数，令     

定律知，依概率有

，则由弱大数

因此要验证弱大数定律，可通过考察 的值在 P 附近的分布来考量，当 N 比较大时，可

用 的粗略近似值  做替换。

在投针试验中，常令 X 为针的中心到与之最近的平行线的距离， 为针与该平行线间较小 的夹角。X、 是相互独立的随机变量，且 X 是服从区间（0，D/2）上的均匀分布， 为服从

（0，   ）上的均匀分布，故二者的联合密度为

当且仅当 X<(L/2)sin 时，针与线能相交，且发生的概率为

对应的蒙特卡罗试验：利用计算机产生服从于       的独立同分布的随机数 X1, X2,  …，XN，和服从于        的独立同分布的随机数  ,      ,  …，  ，次数

                                    ，   

其中 p 的估计值为 n/N,   的估计值为 N/n。

2。4 Johnstone — Velleman 的蒙特卡罗试验

Johnstone — Velleman 的蒙特卡罗试验的目的之一是把回归斜率的两个“干扰”估计（最 小绝对值估计：L1 与“抗扰”线估计：RL）与最小二乘估计作比较[6]。若想进行解析上的比 较是较为困难的，所以这里主要是讨论有限样本下估计量的性质。在简单的线性回归模型中， 响应变量 y 与解释变量 x 之间的线性关系式如下：

这里的 指的是均值为零且不可观测的误差变量。其中 的最小二乘估计   为

得到最小绝对值估计满足

现计算 的“抗扰”线估计：把 xi 的值从小到大依次排序，然后将其分为 L、M、R（其

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中 L<M<R）三组，取   和  使之满足

这里的 med 指的是中位数。然后通过均方误差比较这几个估计值：

这里的 表示的是回归斜率的真实值。

实际上，不论是随机性问题，还是确定性问题，或者随机性和确定性的混合问题，大多 数随机模拟都是考虑估计一个概率或者一个矩，例如估计它的均方误差。也就是说，它们与

期望或积分有关，如这里 f 称为 X 的概率密度函数（表示为 pdf）;IA 为示性函数，即若    ,则 IA 为 1，反之

为 0；c 表示的是任意的一个常数。

这里 称作 X 的概率密度函数。

接下来， 我们给出一般情况下蒙特卡罗法计算或者估计 I  值的一般步骤， 这里

            。

(1) 先把 I 改写成期望的形式：

这里的 h(x)=g(x)/f(x)，X 的概率密度函数为 f(x)（选取的适当函数，满足在 g(x)的作用下大于零）。