。

其中，表示函数的阶导数，多项式称为在处的泰勒展开式，表示泰勒公式的余项，是的高阶无穷小。

下面我们列举出几个常用的带余项的泰勒公式展开式:

第二章 不同类型泰勒公式余项的证明及其应用

2。1泰勒公式余项的一般形式的证明

我们首先讨论文献[2]中所给出的泰勒公式余项的一个一般形式。

设在包含点的区间上有阶到阶的导函数,是在区间内连续的一个任意的函数,并且在I内有不等于零的导数,则可得:

    (2。1。1)

文献[2]在证明公式(1)的过程中主要利用了柯西公式。现在文献[3]中采用一种新的方式来证明公式(2。1。1)。由于在证明过程中需要用到中值定理,所以我们不妨先给出如下中值定理:

若有在上处处连续，并且在内有导数的函数,则至少存在一点,,使来;自]优Y尔E论L文W网www.chuibin.com +QQ752018766-

。

为证明公式(2。1。1),仍先设在包含点的区间上有直到阶导函数, 为上任意一点。令:

若用记与之差,则:

我们在上任取一点,假设,则有

设为在区间上连续的一个任意函数,并且在内至少有一阶非零的导函数,因此可知在上单调。令

这里、、取定,故、为常数。由(2。1。2)式可得:

即:  将上式中的替换为变量,考虑辅助函数