本文，首先通过对高等代数的学习使得对正定矩阵有了初步和系统的认识，通过对运筹学、数值分析及数学分析的阅读使得对正定矩阵的应用有了深层次的把握，同时通过大量的文献检索和广泛阅读书籍，使得本篇论文更加系统 。

1。正定矩阵的预备知识

1。1二次型

    二次型定义：设是一个数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式

称为数域上的一个元二次型。

    二次型在实数域上的唯一性定理：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范型，且规范型是唯一的。即任意实数的对称矩阵合同于一个形式为

的对角矩阵。

1。2惯性指数

正惯性指数：在实二次型的规范型中，正平方项的个数称为的正惯性指数。

负惯性指数：在实二次型的规范型中，负平方项的个数称为的负惯性指数。它们的差称为的符号差。

1。3实正定二次型定义

实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有。

2。实正定二次型的性质                                 

2。1正定矩阵的若干等价条件

    设是实对称矩阵，则下列命题等价：

   （1） 是正定矩阵；

   （2） 对任意向量都有;

    (3)  合同于;

 （4） 的正惯性指数等于；

 （5） 的顺序主子式大于零；

 （6） 的一切主子式都大于0；

 （7） 存在实可逆矩阵，使；

 （8） 是正定阵，存在实可逆矩阵,使，其中；

 （9）的特征值全为正。文献综述

  下面对于部分等价命题给予证明：

    1。元实二次型是正定的正惯性指数等于。

    证明：设二次型的标准型: （1）

    讨论表明，为正定当且仅当(1)是正定的，而二次型（1）是正定的充分必要条件为，所以正惯性指数为，命题得证。

2。一个实对称阵正定与单位阵合同。

因为二次型的矩阵是单位矩阵，而实二次型的规范型为

，所以一个实对称矩阵是正定的充要条件为它与单位阵合同。

    3。实二次型是正定的的顺序主子式大于零。

    证明：先证必要性。设二次型是正定的。对于每个，，令

。证明是一个元的正定二次型。对于，有 

，因此是正定的。 因为正定矩阵的行列式大于零，所以矩阵行列式

命题的必要条件得证。

    再证充分性。对作数学归纳法。

    当时，

，

由条件显然有是正定的。

    假设对于元结论成立，接下来来证元的情形。

    令把矩阵分块写成，由于的顺序主子式全大于零，所以的顺序主子式也全大于零。由归纳法的假设，所以正定阵，即存在可逆的级矩阵，使

这里代表级单位矩阵。令

两边取行列式，

由条件，，因此。显然，

所以，矩阵与单位矩阵合同，所以，是正定矩阵，即二次型正定，命题得证。

    4。是正定阵，的一切主子式都大于0。来:自[优E尔L论W文W网www.chuibin.com +QQ752018766-

    证明：设为正定矩阵。其任一阶主子式为

。

下面考察二次型和,对任意的,令，其中

    由于正定，知,从而,由的任意性知是正定二次型，故，命题得证。