摘要：本文首先给出了对称矩阵和正定矩阵的基本概念，然后系统的对对称矩阵的正定性进行了探讨，最后给出了对称矩阵正定性在判定二次型正定中、证明不等式中及求多元函数极值中的应用。

毕业论文关键词：正定矩阵；对称矩阵；正定性83419

Symmetric matrix are qualitatively discussed

Abstract:This paper gives the basic concepts of symmetric matrices and positive definite matrix, then the system of symmetric matrices are qualitatively discussed。 Finally, the symmetric matrix positive definite quadratic form in definite determination in proving inequality and Multivariable Function Extreme application。

Key words: Positive definite matrix；Symmetric matrix；Is qualitative

目录

摘要 1

引言 2

1。预备知识 3

2。对称矩阵的正定性判定 4

3。对称矩阵正定性的应用 11

3。1对称矩阵正定性在判定二次型正定中的应用 11

3。2对称矩阵正定性在证明不等式中的应用 13

3。3对称矩阵正定性在求多元函数极值中的应用 14

结束语 15

参考文献 16

致谢 17

对称矩阵的正定性探讨

引言

 在研究二次型时，常会遇到对称矩阵正定性问题，我们知道对称矩阵的正定性与实二次型的正定性是唯一确定的，由此可知对对称矩阵正定性探讨就是对正定二次型的探讨，可归结为正定矩阵的探讨。对对称矩阵的正定性探讨，不仅使得判定二次型是否正定简单快捷，而且对不等式证明及求多元函数极值也有重要应用，因此研究对称矩阵的正定性很有必要。

已有许多文献对对称矩阵的正定性做了大量研究，文献[1][2]探究了对称矩阵和正定矩阵的定义、性质以及对称矩阵和正定矩阵的关系；文献[3][5][8]讨论了对称矩阵的正定性判定条件；文献[6][10]探究了对称矩阵正定性的应用。

本文是通过在广泛查阅资料以及一系列参考文献，给出了对称矩阵和正定矩阵的基本概念，在文章中也系统的探讨了对称矩阵的正定性，最后又把对称矩阵的正定性应用到了判定二次型的正定中、证明不等式中以及求多元函数极值中。文献综述

1。预备知识

定义1。1[1]设矩阵，记为的转置，若满足条件,那么就为对称矩阵。

定义1。2[3] 设为元实二次型，若对任意一组实数，那么有，则正定。

定义1。3[2] 若元实二次型为正定的，则称为正定的。

定义1。4[1]设，为两个阶方阵，若存在阶可逆阵，使，则称与合同。

定义1。5[1]把行指标与列指标相同的子式称为主子式。

定义1。6[1]子式

称为矩阵的的顺序主子式。

定义1。7[5] 设元函数一阶偏导等于零的点为

，且在点，则得到矩阵

若正定，有极小值；

若负定，有极大值；

若既不正定也不负定，的极值不确定．

2。对称矩阵的正定性判定

定理2。1[3] 若元实二次型正定则其正惯性指数等于，反之也成立。

证明必要性。设，它经过非退化来:自[优E尔L论W文W网www.chuibin.com +QQ752018766-

化成规范形如果对于任意一组不全为零的实数，则，有