泰勒公式的应用相当广泛，对于泰勒公式和泰勒公式的应用的研究还在不断推进，有许许多多的数学课题等着数学研究员去发现和推广，相信经过不断的研究发现，泰勒公式能够在数学分析研究领域大放异彩，取得更加丰厚的成果。

1。预备知识

1。1泰勒公式及其各种余项

定理1[10]： 若函数在点存在直至阶导数，则有：

即称为函数在处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，这里

为佩亚诺型余项,所以称此式为（带佩亚诺型余项的）泰勒公式。

定理2 [10]：若函数在上存在直至n阶的而连续导函数，在上存在阶导函数，则任意给定的, ,至少存在一点（a、b）,使得

 ()2．．．+()n+(2)

其中，称(2)同样是带有拉格朗日余项的泰勒公式。

推论1[10]:余项为

称为拉格朗日余项。所以(2)式又被称为带有拉格朗日余项的泰勒公式。

推论2[10]:需要注意的是当=0时，(2)即为拉格朗日中值公式

也可以说是拉格朗日中值定理的推广。来:自[优E尔L论W文W网www.chuibin.com +QQ752018766-

推论3[10]:当=0时，(2)式便成为：．．．n

称此式为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式。

1。2常见的函数泰勒展开式

2。泰勒公式的应用

2。1 应用泰勒公式求极限

想要更加简便的进行极限运算，可以用某项的泰勒展开式来代替该项，可使所求函数的极限替换成为类似多项式有理式的极限，方法简便，易于操作。

例1。

分析: 此为型不定式，如果直接选择用罗必塔法则求此函数的极限，就会相当的复杂，由题目知分母是的四阶无穷小，可将分子用泰勒展开式展开，因为是无穷小的性质，所以分子的泰勒展开式只需保留到的四阶无穷小即可。