在式（1）中含有变量及其导数的一次幂项，其中，，是常系数。故此则含有两个输入的变量，一个输出变量的线性微分方程。当时,；同理，时，；则得当单独作用时的线性微分方程：

式（5）、（6）可知是由式（1）转化来的，, 为单独作用时系统输出的结果。显然式（1）、（5）、（6）左边的结构形式同为=（5）式+（6）

式，得 

则由式（7）、（8）可得 

                。                （9）

由（9）式可得，满足（1）式，那么可以说，是共同作用时的总输出，其恰好等于单独作用时输出,的代数和。

综上证明可得，线性微分方程满足叠加原理。

2。线性叠加原理的应用

在自然界，普遍存在着叠加现象，相对应地，针对这些现象的各种方程也是随处可见的。而本文在线性叠加原理的应用上，则只研究其在数学上和物理上的应用。

2。1 数学中叠加原理的应用文献综述

2。1。1 齐次线性微分方程的叠加原理

设齐次线性微分方程

若是方程（10）的个解，则它们的线性组合也是（10）的解，这里的是任意常数。

例1[1] 证明：通解结构定理：若是公式（10）的个线性无关解，那么公式（10）的通解可表示如下：

这里的是任意常数且。

证明  由叠加原理可知式（11）是式（10）的解，它包括了个任意常数且这些常数是相互独立的，而且

故此，（11）式是（10）式的解。

现在开始证明它包括了方程的所有解。由解的唯一性可知，方程解的唯一决定于初值条件，为了证明它包括了方程的所有解，只需证明：任给一个初值条件

它能够确定（11）中的常数的值，现令（11）满足（13），可得到关于的线性代数方程组

它的系数行列式为，由条件，是方程（10）的个线性无关的解，则

由线性代数方程组的理论可知，方程（11）有唯一解，即定理成立。

2。1。2 非齐次线性微分方程的叠加原理来:自[优E尔L论W文W网www.chuibin.com +QQ752018766-

设分别是非齐次线性微分方程：

的解，则是方程的解。证明 由题意，

把代入方程（18）的左边得

=式（16）+式（17）。

综上证明可得,定理成立。

2。1。3  齐次线性微分方程组的叠加原理