显然,函数积分存在的条件为沿曲线有界。此外,下面的式子也是一种函数可积的条件计和算复积分的描述。

定理1。1 若函数是沿曲线连续的函数,则函数沿曲线是可积的,且

这说明复变积分的计算可以分为实、虚两部。 此外,还可以用柯西定理、留数定理等方法来计算复积分。

1。2 函数的极点及留数 文献综述1。2。1 解析函数的极点

定义1。2 如果解析函数在点是不可解析的,并且函数在的任意一个相邻的区域内都无法展开成泰勒级数,那么就是一个单值性或多值性奇点。

定义1。3 如果函数在内是可以解析的,那么点就被称为函数的一个孤立奇点。

如果函数的孤立奇点为,则函数在内可以展开成洛朗级数

定义1。4 如果函数在点的主要部分为有限多项,设为

则称点为函数的阶极点。 单极点即为一阶极点。

定理1。2 一旦函数的孤立奇点为,那么下面几个在某种程度上是可以划上等号的。

1）函数在点的主要部分为:

2）函数在点的某去心邻域内能表成:

其中且在点邻域内解析。

   3）把看成是阶零点（只要令,可去奇点要当做解析点看）。

定理1。3 是函数的孤立奇点为极点的充分必要条件。

定理1。4 是函数的孤立奇点为可去奇点的充分必要条件。

定理1。3 不存在函数的孤立奇点为本质极点的充分必要条件。

1。2。2 留数 来:自[优E尔L论W文W网www.chuibin.com +QQ752018766-

    如果函数在点是解析的,同时函数在点的相邻的区域内是可以解析的,则根据柯西-古萨基本定理可以得出:。

然而,如果点是的一个孤立奇点,那么沿在点的某个去心内包含的任意一条正向简单闭曲线的积分的值,就一般不再会等于为。

定义1。5 设函数的孤立奇点为有限点,即函数在点的某去心邻域内解析,则称积分