上面的数表叫做数列的差分表。

通过差分算子的定义,容易证实下面的定理2。1。1

定理2。1。1 设和是两个数列,则

1)(为常数)。

证 设是任一数列,令:

一般地,有:

称为位移算子,令:

一般地,有:

称为恒等算子。来:自[优E尔L论W文W网www.chuibin.com +QQ752018766-

设是差分算子。位移算子或者是恒等算子,是任一数列,规定

分别称为与的和、差、积。

定理2。1。2设 是差分算子。位移算子或恒等算子,则:

1);2)。证 设是任一数列。

（1）因:所以: 同理可证: 。

(2) 因:所以: 同理可证:2。2多项式的差分

定理2。2。1 设是的次多项式,则当时,是的次多项式；当时,。

证 因为是的次多项式,故可设:这时:由以上的式子可知是的次数不高于的多项式,并且在该多项式中的系数为,所以是的次多项式。

由于是的次多项式的差分,所以是的次多项式。如此类推可知,当时,是的次多项式。

由于是的零次多项式,即为一个常数,所以当时,。

定理2。2。2设是的次多项式,则

。

证因为是的次多项式,所以当时: