本文先介绍了矩阵特征值与特征向量的概念及其性质，并通过实例来说明矩阵特征值与特征向量性质的具体运用，通过实例让读者更易理解特征值与特征向量。另外，对于初次接触特征值与特征向量的人们来说，也可以了解到一些简单的数学知识。文献综述

1 预备知识

1。1  特征多项式

现有数域，设是上一个维线性空间，是线性空间上的一组基，经线性变换A得到一个矩阵，我们可以这个矩阵为。 若λ是矩阵的特征值，那么特征向量ξ在基下的坐标是。 由， 这说明特征向量ξ的坐标满足齐次次方程组

由于， 则系数矩阵

称为特征多项式。

定理1设阶矩阵的特征值为，则有

数称为方阵的迹记作。

2 特征值与特征向量的理论及性质

2。1 矩阵特征值与特征向量的定义

定义1:设A为阶矩阵，若存在常数与维非零向量ξ，使

那么为矩阵A的一个特征值，ξ称为A的属于的特征向量。

定义2:设λ是A的一个特征值，存在一个维零向量，使齐次方程组

有非零解，则是属于λ的特征向量，从而有 。

齐次线性方程组有非零解的充要条件是:系数行列式

2。2矩阵特征值与特征向量的性质及其应用

2。2。1特征值与特征向量的性质

性质 设为阶方阵，存在个特征值分别为，则．

性质 设是的特征值，是的特征多项式，则 是的特征值．

性质 方阵可逆的个特征值都不为零．

性质 不是方阵的特征值．来:自[优E尔L论W文W网www.chuibin.com +QQ752018766-

性质 (哈密顿定理) 设阶方阵的特征多项式是，则 

． 

2。2。2 性质的应用

例 已知阶矩阵特征值是， ， ， 设， 求: ①;

② ; ③ 。

解 ① 由性质可得

。   ② 因， 由性质3 可知的特征值为    ③ 的特征多项式为 令 得 

问当为何值时， 可逆。