改进的DFT正弦信号频率估计(2)
文献［5］提出的 JACOBSEN 算法利用 DFT 频谱中最大的 3 根谱线校正第一步中的频率粗估计值。通过仿真实验，我们看到在噪声较大时，该算法能够得到较好的估计结果，但是估计的精度仍然不高。为了提高频率估计的精度，文献［6］提出了CANDAN算法，它对JACOBSEN算法进行了修正与优化，从而使得估计精度有了明显提高。文献［7］提出了一种傅里叶系数插值迭代算法， 通过两次迭代实现在低信噪比时估计的精度都较高，该算法的优点在于当信号的信噪比较高时，其频率估计的性能优于CANDAN算法;但由于该算法每次迭代需计算两点的DFT系数，导致了运算量的增大。文献［8］通过对信号进行2N 点的 DFT 变换，使更多的谱线处于信号频谱的主瓣内，并且通过最大值附近的两条谱线进行频率估计。仿真发现在频率偏差较小的情况下，估计方差较为精确;但该方法的缺点是当信号频率偏差较大时，频率估计精度较低。针对上述方法各自的特点，本文提出了一种改进的频率估计算法。其主要思想是在粗估计阶段，借助于CANDAN算法估计出真实频率与粗估计值(即 DFT 变换谱峰最大值所对应的位置)间的偏差，然后去除输入信号中的偏差得到修正信号，从而使得修正后的信号频率偏差较小。这样正好使得2N点DFT算法可以避免在频偏较大时估计不精准的缺点。于是，我们在在精估计阶段，利用2N点DFT算法估计剩余频率偏差。通过上述思路的改进，本算法既利用了CANDAN算法高精确的频率估计性能，又克服了2N点DFT算法在信号频率偏差较大时的缺陷，使得改进算法对于任何频率的信号，期频率估计都较为精准。
本文组织结构如下：第2章介绍了CANDAN算法的公式推导的具体过程，并且分析了他的优缺点。同样的，第3章详细描述了2N点DFT算法的公式推导的具体过程，分析了他的优缺点。第4章在第2章和第3章的基础上详细论述了改进的频率估计算法，介绍了改进算法的灵感由来，列出了公式推导的详细步骤，说明了改进算法的优越性。第5章简单列出了其他的频率估计算法，只是作于展示，并没有做进一步探讨。第6章对于提出的改进算法用MATLAB进行了性能仿真并做了简单分析。第7章列举了两种对于改进算法的进一步思考，并且通过MATLAB仿真对这两种想法的可能性进行了验证。
2 CANDAN频率估计算法
众所周知，在白噪声和高斯噪声下，单一复指数波形的最大频率估计可能值，即是所得信号的离散时间傅立叶变换(DTFT)的峰值位置。由于连续区间[0,2]上的DTFT计算很难完成，CANDAN转而对DTFT样本进行离散傅立叶变换(DFT)计算。通常N点DFT用来计算数据长度为N的样本，得到的频率估计的分辨率为2/N。
许多应用中，即便不得不增加额外计算，人们也希望能提高频率估计的分辨率。正如文献[14]中写到的，实施两阶段搜索可以改进频率估计。首先用N点DFT进行粗略搜索，然后在其确定的峰值附近进行精确搜索。值得注意的是，两阶段搜索的分辨率受到精确搜索所使用的格点间距的限制。
文献[2][3][4][15]中提出了一个第二阶段的替代方法。高分辨率估计不再通过格点搜索进行，而是借由已经过第一阶段计算的DFT样本进行。文献[2][3][4]中提到的方法使用了三个DFT样本，Provencher法则只是用了两个样本[15]。与格点搜索相比，这些方法只需要少量的操作，并且得到的频率估计值是实值，而不仅是离散的格点。
在文献[5]中，JACOBSEN为DFT域的高分辨率估计提出了一个简单关系式。这一假设基于经验观察，在文中并未得到证明。而CANDAN对JACOBSEN的公式进行了推导和偏差修正。修正式适用于高SNR值的情况，却几乎不需要任何额外计算，因此无论SNR值为多少该式均适用。
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