改进的DFT正弦信号频率估计(3)
2.1 问题描述
高斯噪声下观察到的单一复指数波形符合下列模型：
(1)
这里的A和ω分别是每个样本对应一个正弦信号波长下的复数振幅和实频率，均是未知参数。
图1是无噪声情况下的 的幅频谱。其中的复指数频率是 。我们的目的是在三个DFT谱的峰值附近估计δ的值，其中| 。
图1 无噪声情况下的 的幅频谱
在第一阶段，我们计算r[n]的N点DFT， 。其中 表示复指数DFT的输出值。如果输入值 足够大，DFT幅频谱（图1中的 ）的峰值应该在真频率 附近。我们的目的是高SNR值区域的频率估计，雷达信号处理问题通常都设定在这一区域。
我们可以将峰值的DFT面元及其左右相邻值描述成： (2)
其中 是白噪声和高斯噪声两者共同作用下观察到的ω[n]的DFT。
式(2)中等式右侧的函数f()即为离散傅里叶变换的定义式：
其中α是函数f()的一般变量。
我们的目的是利用三个DFT样本的峰值区域得到 的估计值。 确定之后，最终的频率估计值便可通过 计算得到，其中 是第一阶段得到的峰值的面元数， 是通过R[ -1]，R[ ]和R[ +1]得到的估计值。
2.2 提出估计
为了确定式(2)的非线性关系式中δ的值，我们建议将 在 附近进行泰勒展开，假设二阶项及更高项与δ相比可忽略不计，得到δ计算结果。
我们使用了以下泰勒展开： (4)
函数 表示0到N-1的所有整数的k次方的和，即 。数列 的前几项已经给出：
其他项可以用伯努力数明确写出[8]。
把 中的z替换成 ，就能得到式(4)中给出的 的泰勒展开式：
将ck定义为： (5)
这样泰勒展开就能写成更简洁的形式：
为了估计 ，我们计算 的第一和第二差分。利用初等代数，式(7)可以写成 和 的差分：
这里的h.o.t表示 的展开的更高项。
接下来，我们计算式(8)中等式右侧的奇数项和指数项的ck的无穷求和。
无穷求和通过以下式子进行： (9)
式（9）中的两个等式可改写成以下形式：
从ck的定义中可以明显看出c0=1/N，c1=π(N-1)。把c0和c1的值替换至式（10）中的等式里，式(8)中的无穷求和便可明确的计算出来：
忽略高阶项后，我们可以的到两个差分的比值： (11)
再调用一次 ，就可将最后的式子简化为：
(12)
在SNR值较高时，即 ，峰值附近的DFT样本，即式（1）中的R[ -1]，R[ ]和R[ +1]，可分别看成 ， 和 。这样就可以通过在（12）中进行 ，和 的替代估计 ：
(13)
这就是我们提出的估计的推导过程。
我们对广泛应用的Jacobsen估计进行修正，提出了一个能更加完善其功能的偏差修正式。Jacobsen估计是在[7]中根据经验观察提出的，而我们则对其在应用中的良好表现提出了改进。
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