有限元方法在波导计算的应用仿真(2)
人类的计算能力取决于计算工具的性能与计算方法的性能两个方面。一种高效的数值算法离不开高性能计算机的支持。如今高性能电子计算机的发展日新月异，就个人微机而言，3.0GHz以上CPU与2G以上内存的微机已随处可见，完全能够满足数值仿真试验的需要，并且价格一般来说仅需数千元，这为数值仿真技术的应用提供了很大的便利。然而对于提高计算能力来说，数值算法的计算效率的提高比硬件性能的提高更为重要。因此自从上世纪50年代以来一直到目前为止，计算方法的研究都非常活跃，并出现了一系列的数值仿真方法。主要包括偏微分类方法如有限元法、有限差分法；积分类方法如矩量法、边界元法；以及其它如模匹配方法、射线类方法等等。各种方法都具有自身的特点和局限性。其中有限元方法由于其强大的模拟任意几何结构及任意特性的复杂材料的能力，并且具有适合并行处理、程序通用性强等许多优越的特性，从而获得了人们的喜爱和广泛的应用。另一方面，作为差分类方法，有限元法导出的为高度稀疏的线性系统。而对于以积分方程为基础的数值方法产生的离散方程，其系数矩阵通常为稠密矩阵，所有元素都需要大量的数值计算。因此虽然积分类方法的未知量可能比有限元方法的少，但其数值计算工作量很大。这也是有限元法与矩量法等方法相比的优势所在。目前有限元方法已经几乎被运用到电磁场中的各个方面，成为数值算法中最重要最成熟的方法之一，并且有许多国内外的学者致力于有限元算法的研究[1]。
1.2 研究历史和现状
有限元方法已经几乎被运用到电磁场中的各个方面，成为数值算法中最重要最成熟的方法之一，并且有许多国内外的学者致力于有限元算法的研究。近几年来，每年世界上都有数十篇关于有限元研究的科技论文出版，并且有系统介绍关于有限元技术及在电磁场与微波技术领域应用的书籍，如金建铭的《电磁场有限元方法》【5】等。许多国家都在有限元方法的研究上投入了很大的人力物力，并研发出了许多实用成熟的商用软件，如HFSS，ANSYS，FEKO等等，已经投入广泛的使用，解决了许多的工程问题。
大量科技文献与商业化软件的出现表明，在电磁学相关领域，有限元理论已经趋向成熟，然而有限元的方法十分适用于闭域问题的求解，对于散射等开域问题则比较困难。有限元求解电磁散射问题的困难之处在于，有限元是一种区域性方法，受计算机存储空间和运算速度的限制；而电磁散射是一个开域问题，有限元方法不可能将离散域扩展到无限空间，这就需要一个特殊的边界条件－开域边界条件为有限元确定一个有限大的计算区域，将开域问题转化为闭域问题【5】。
1.3、有限元法原理
1.3.1 电磁场边值问题[1]
用有限元法分析电磁场问题，首先要对电磁场中的边值问题进行研究。边值问题出现在物理系统的数学模型中，它们的求解一直是数值模拟方法研究的主题。典型的边值问题可用区域Ω内的控制微分方程和包围区域Ω的边界 上的边界条件来定义。微分方程可表示为
( 1 )
这里￡表示微分或积分算子，f是已知的激励函数，Φ是需要求解的未知场函数，可以是电场、磁场或电势、磁势等。对于一般的问题，主要有Dirichlet边界条件，Newman边界条件、及辐射边界条件等.