高斯最小频移键控GMSK技术研究与实现+文献综述(3)
由式(2.4)可以看出MSK信号每个码元时间 内包含的波形数必须是1/4周期的整数倍，于是式(2.4)亦可写为：
N为整数，m=0,1,2,3… (2.5)
将式(2.5)代入式(2.1)可得：
(2.6)
由式(2.6)变换可得：
其中： (2.7)
由式(2.7)可以看出，在一个码元时间Ts内，包含 个 频率的正弦信号周期数，或者 个 频率的正弦信号周期数。于是可以得到以下结论：无论两个信号频率 和 为何值，这两种码元所包含的正弦信号周期数均相差 个周期。这是一个非常重要的性质，对于后期仿真时验证MSK信号的正确性有着重要的参考价值。
上文我们提到过，2FSK信号的一个重大缺陷就是相位不连续，那MSK信号的相位是否连续呢？
所谓相位连续，即前后码元的总相位相等，我们容易得到式(2.8):
(2.8)
由式(2.8)我们可以推导出下列递归条件：
(2.9)
我们可以假设 的初始参考值为0，这样便于得到：
(2.10)
将 和 代入式(2.1)可以得到，MSK信号的第 个码元波形可以表示为： (2.11)
其中： (2.12)
式(2.12)中 为第 个码元，值为1或者-1.
由式(2.12)我们可以看出第 个码元的附加相位是时间 的直线方程。若 为+1，则第 个码元的附加相位增加 ；。若 为-1，则第 个码元的附加相位减小 。
由上述分析我们可以画出，当输入为-1，-1，+1，-1，+1，+1，+1，-1，+1时，MSK信号的相位轨迹如图2.1所示：
图2.1 MSK信号的相位轨迹
由图2.1可以看出MSK信号的相位在码元之间是连续的，这不仅是MSK信号优于2FSK信号的地方，也可以成为我们检验建立MSK模型的正确性的一个标准。
在简要地讨论完MSK信号的性质之后，来考虑MSK信号的数学表示。在上文中曾经提到过，MSK信号的一个特点就是两个码元相互正交，可以通过这个特点尝试用一个正交表示的数学表达式来建立MSK模型。
将式(2.12)代入式(2.11)，再将式(2.11)利用三角公式展开可以得到
(2.13)
这就是MSK信号的数学表示。
由式(2.13)可知MSK信号可以分解为同相分量( )和正交分量( )。其中 分量的载波为 ，正弦形加权函数为 ； 分量的载波为 ，正弦形加权函数为 。
由该式可以看出，MSK信号的调制，关键是得到 — 支路的数据。通过分析可以得出结论: 支路和 支路的数据，每隔2 秒才有可能改变符号。其中 支路数据在 处才有可能发生变化， 支路数据在 处才有可能发生变化， 支路数据和 支路数据在时间上错开 ；输入数据经过差分编码、串并变换后，可直接得到 和 。
MSK信号的归一化单边功率谱密度 可以表示为：
(2.14)