Matlab小波变换在图像处理中的仿真及应用+源码(8)
在实际应用中，为了使小波变换的计算更加有效，通常构造的小波函数都具有正交性。从理论上可以证明，将连续小波变换离散成离散小波变换，信号的基本信息并不会丢失。相反，由于小波基函数的正交性，使得小波空间中两点之间因冗余度造成的关联得以消除；同时，因为正交，使得计算的误差更小，变换结果时-频函数更能反映信号本身的性质。
3.3 多分辨分析与Mallat算法
3.3.1 多分辨分析
Mallat使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Mallat快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当。
空间 的多分辨分析是指构造该空间内一个子空间列 ，使其具有以下性质：
（1） 单调性；
（2） 逼近性；
（3） 伸缩性；
（4） 平移不变性：
（5） Riesz基存在性；
存在 ，使得 构成 的Riesz基。
在定义3性质（1）中， 对应于 分辨率，在有些文献中， 对应于 分辨率，这时，性质（1）、（3）中子空间的下标要做相应的变化。
定理：令 是 空间的一个多分辨分析，则存在一个唯一的函数 使得
(3-12)
必定是 内的一个标准正交基，其中 称为尺度函数。
式(3-12)中的系数 是为了使 的 范数为1。引入尺度函数的目的是为了构造正交小波基，图3.1左图为一指数衰减、连续可微分的尺度函数，右图是其傅里叶变换。显然，尺度函数与低通滤波器的形状相同。
图 3.1尺度函数的图形和尺度函数的傅里叶变换
若 生成一个多分辨分析，那么 也属于 ，并且因为 是 的一个Riesz基，所以存在唯一的 序列 ，它描述尺度函数 的两尺度关系：
(3-13)
由性质（1）可知 ，所以
(3-14)
反复应用式(3-14)，得
(3-15)
同样，象 生成 一样，存在一个函数 生成闭子空间 ，且有与式(3-13)类似的双尺度方程：
(3-16)
式(3-16)称为小波函数双尺度方程。由式(3-12)、(3-16)可知，尺度函数与小波函数的构造归结为系数 的设计。
若令 ，则把尺度函数和小波函数的设计可以归结为滤波器 的设计。构造正交小波时滤波器 与 必须满足以下三个条件：
联合求解式(3-18)和(3-19)可得
(3-20)
由式(3-20)立刻可得
(3-21)