Matlab小波变换在图像处理中的仿真及应用+源码(9)
所以，要设计正交小波，只需要设计滤波器 。
3.3.2正交小波变换
一个函数的平移和伸缩所构成的正交基在对信号进行分解和重构方面是十分有用的。
Haar小波母函数：
（3-22）
Shannon小波母函数：
（3-23）
Shannon小波母函数是无限次可导的，这比存在不连续点的Haar小波母函数要优越，可是Haar系函数的支集是紧的，Shannon系的函数不仅不是紧支的，且当 时趋于零的速度仅为 ，故当用Shannon系对函数进行分解时，分解系数不能很好地反映信号的局部特征。
Haar小波的缺点是不连续，利用卷积的方法可以将它变得光滑起来，通过正交化方法，这就构成了由B样条函数所生成的正交小波函数。崔锦泰详细研究了用基数-B样条函数构造小波的方法,3-24式给出一个用B样条构造的正交小波母函数的例子，是用频域表示的，理论上其时域表示可通过傅里叶反变换获得，不过实际中只能通过数值运算获得其时域的函数图形。
（3-24）
Daubechies构造了目前实际应用中大量使用的具有有限支集的正交小波基，其对应的滤波器是有限长的。不过无论是频域还是时域，它们都没有显式的表达式，而且，除Haar基外所有其他正交紧支的小波函数、尺度函数关于实轴上的任何点都不具有对称或反对称性，因而所对应的滤波器都不具有线性相位。
3.3.3二文Mallat算法
在进行图像处理时要用到二文小波变换，目前研究中主要以可分离小波为主，下面的定理给出了构造二文可分离正交小波基的方法。
定理:令 是 的可分离多分辨分析，并令 是相应的二文尺度函数， 是与尺度函数对应的一文标准正交小波。若定义三个“二文小波”
(3-25)
则
(3-26)
分别是 内的标准正交基。
设 为待分析的图像信号，其二文逼近图像为
(3-27)
式中
(3-28)
利用尺度函数和小波函数的正交性，由式(3-26)、(3-27)和(3-28)立即得
(3-29)
以及
(3-30)
引入矩阵算子，令 和 分别代表用尺度滤波器系数对阵列 的行和列作用的算子， 和 分别表示用小波滤波器系数对行和列作用的算子，二文Mallat分解算法为
(3-31)
二文Mallat重构算法为：
(3-32)
二文小波分解与重构算法，利用其可分离特性，在算法实现时分别由对行进行一文小波变换，然后再对按行变换后的数据按列进行一文小波变换来完成。与一文的情形类似，在实际应用中，由于图像信号总是有限区域的，也存在如何处理边界的问题。典型的处理方法是周期扩展和反射扩展。在用小波变换进行图像压缩时，由于边界的不连续性，会使得在边界处的小波变换系数的衰减变慢，从而影响图像的压缩比，因而在图像压缩应用中，若使用的是具有对称性质的双正交小波滤波器，一般对边界采用反射扩展的方式，使边界保持连续，以提高压缩性能。