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有限元边界积分方法分析天线电磁特性(3)
本论文的内容安排如下:
第一,介绍研究内容的目的背景及意义和相关技术的国内外
发展现状
和趋势、以及研究内容。
第二,介绍了有限元方法的基本理论及基本工作原理。
第三,介绍了边界积分方法及有限元-边界积分方法的理论与公式。
第四,结合对微带天线的建模与分析介绍商用全波三文仿真软件HFSS的基本操作分析过程,并且对阵列天线进行了设计与仿真分析。
第五,对全文进行总结,并对未来的工作进行展望。
2 电磁场有限元方法简介
2.1 边值问题的经典方法
有限元方法是近似求解数值边界问题的一种数值技术,所以有限元问题其实也是一种边值问题。在这里我们先定义边值问题,然后讨论边值问题求解的两种经典方法。一是里兹(Ritz)变分方法,另一种是伽辽金(Galerkin)方法,它们构成了现代有限元方法的基础。
2.1.1 边值问题
边值问题出现在物理
系统
的数学模型中,它们的求解一直是数学物理中的研究主题。典型的边值问题可用区域Ω内的控制微分方程和包围区域Ω的边界Γ上的边界条件来定义。微分方程可表示为
£Φ= ƒ (2-1)
式中,£是微分算符, 是激励或强加函数,Φ是未知量。在电磁学中,控制微分方程有像泊松方程那样简单的方程,也有像标量波动方程以及矢量波动方程那样复杂的方程。边界条件有简单的狄利克雷(Dirichlet)条件和诺曼(Neumann)条件,也有复杂的阻抗和辐射边界条件,甚至还有复杂的高阶条件。
当然,我们希望尽可能用解析方法求解边值问题。然而,只有少数情况可得到解析解。在电磁学中,可解析求解的问题包括无限大平行板间的静电势问题,波在矩形、圆柱和椭圆波导中的传输问题,矩形、圆柱和球形腔内的腔体谐振问题,以及无限平板、劈、圆柱和球对波的散射问题等等。许多实际需要的工程问题都没有解析解。为了克服这种困难,人们已发展了各种近似方法,其中应用最广泛的是里兹方法和伽辽金方法。
2.1.2 里兹方法
里兹方法也称为瑞利-里兹(Rayleigh-Ritz)方法,它是一种变分方法,其中边值问题用变分表达式(也称为泛函)表示,泛函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分方程。通过求泛函相对于其变量的极小值,可得到近似解。为了说明这种过程,首先定义内积,用尖括号表示为
(2-2)
式中星号表示复共轭。在这种内积的定义下,如果有
﹤£Φ, Ψ﹥=﹤Φ, £Ψ﹥ (2-3)
则(2-1)式中的算符£是自伴的;如果有
﹤£Φ, Φ﹥= (2-4)
则(2-1)式中的算符£是正定的。可以证明:如果(2-1)式中算符£即自伴又正定,那么,(2-1)式的解可通过求下式泛函对 的极小值得到
﹤£ , ﹥ (2-5)
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