有限元边界积分方法分析天线电磁特性(7)
因为 是任意变分，我们从上式得出结论： 满足（2-17）式。在（2-32）式的定义下，（2-20）式可写成
﹤￡Φ, Φ﹥- （2-36）
对于包含非齐次边界条件的问题，修正变分原理也是正确的，因而（2-31）式中给出的泛函可写为
﹤￡Φ, Φ﹥－ ﹤￡Φ, ﹥﹢ ﹤Φ, ￡ ﹥- （2-37）
我们称上式为广义变分原理。我们可以用（2-37）式列出多数电磁学边值问题的计算公式，定义（2-32）式的直接结果是：对于复数问题，用广义原理推导出的泛函是复数量；而用前面变分原理推导出的泛函始终是实数，而且，它们通常对应于一个物理量（如功率、功和能量）。
2.3 有限元方法的原理
2.3.1 从一文的例子来看有限元的建模过程
电磁场边值问题变分法有两个特点：
（1）变分问题已经将原来电磁场边值问题的严格求解变为求解在泛函意思下的弱解，，这个解可以和原来的解式不一样。
（2）在电磁场边值问题的变分方法中，如果展开函数是由定义在全域上的一组基函数组成的，那么这种组合必须能够表示真实解，也必须满足适当的边界条件，这对于二文、三文问题是非常困难的。
很自然的，人们认为，如果采用组成全域的分域上的一组基函数能够提高近似解对于真实解的逼近精度，这就是有限元方法。下面我们通过一个简单的一文例子来看有限元方法的建模过程及该方法的特点。
下图2-1所示为考虑一个均匀填充、介电常量为ε的平板电容器。
图2-1 平板电容器问题求解示意图
如果假设电场只有x方向的分量，问题就可以简化为一文问题，问题的支配方程为：
其边界条件为
运用伽辽金的方法可以给出这里的误差泛函为
（2-40）
如下图2-2所示，我们可以将一文区域离散化为N段（单元），每一小段又有编号为“1”和“2”的两个端点（结点），也称为“本地”序号。当然，与单元一样，每个结点还有相应的全域序号。
假设在单元内部电位函数按照线性规律变化，也就是对于单元内部的函数进行一阶插值
图2-2 区域离散化示意图
特别地，在两个结点 和 处令其值分别为 和 ，则（2-25）式可以重新写为（实际上 和 就成为了这一子域上待求的系数）
（2-42）式中
这时候，在离散化的意义下，泛函（2-40）式可以写为 （2-43）
式中， 是结点的全域序号；K是所有结点的总数； 是第 个结点的子域。由于结点和单元的关系，我们可以在单元内选取 作为权函数，再利用一些矢量运算恒等式，可以得到
（2-44）
式中， 为单元的序号； 为总的单元数。
注意到，在离散化子域上有
在实际问题中，应该是域内无源，所以 为零。在每个单元内（2-44）式的左边可以写为线性表达式
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