MATLAB一类非完整系统镇定控制问题研究仿真(4)
理论上已证明:
(1)若A中不可控模态对应的特征值实部有正数，则不存在连续状态反馈控制律 使系统(2.6)局部渐近稳定到平衡点
(2)若A中不可控模态对应的特征值实部全部为负数，则存在连续状态反馈控制律 使系统(2.6)局部渐近稳定到平衡点。
(3)若A中不可控模态对应的特征值实部无正数，但至少有一个特征值的实部为0，是否存在连续状态反馈控制律 使系统(2.6)局部渐近稳定到平衡点还需要进一步研究。
上述第三种情况就是所谓的“临界情况”，对于临界情况如何判断其可镇定性，至今没有完善的结果。非完整系统(2.3)就是典型的临界情况。Brockett提出的非线性系统能否被光滑反馈镇定的必要条件不仅有助于我们理解非线性系统临界情况的镇定问题，还能用还判定非完整系统是否存在光滑状态反馈控制律。
定理2.4 (Brockett镇定必要条件)对于非线性系统(2.6)，存在连续可微状态反馈
控制律使得系统平衡点渐近稳定的必要条件为:
(1)非线性系统(2.5)的局部线性化系统(2.6)的A中不可控模态对应的特征值的实部无正数。
(2)存在零的邻域 满足， 有控制 使得系统 的解 (t= 0时的初值为 )收敛到零 。
(3)映射:
的值域为 中一个包含原点的开邻域。
由定理 2.4不难证明不存在光滑状态反馈控制律使得非完整系统(2.3)的原点局部渐近稳定。事实上，对于系统(2.3)，因为 ，所以存在n非零文向量 与 线性无关.由连续性可知，存在非零 使得对满足 的所有向量 ，向量 与 无关。因而映射 不能把 中零点的邻域 映射到 中零点的邻域上。由定理中2.4中的(3)可知，不存在光滑状态反馈控制律使得非完整系统(2.3)的原点局部渐近稳定。
定理2.5[24]对于非完整系统(2.3)，不存在连续反馈控制律 使得闭环系统局部渐近镇定，也不存在连续动态反馈控制律。
使得 是闭环系统的局部渐近稳定平衡点。
2.4 链式系统的数学模型
非完整系统主要可化为的标准型系统有：链式系统，幂式系统和其他标准型系统。本课题主要研究链式系统。
在非完整系统可以化为的标准型系统中，链式系统有着很重要的意义。这一方面是因为链式系统是一种最简单的非完整系统，另一方面也因为非完整系统在一定条件下可以通过状态坐标变换和输入变换转化为链式系统。并且链式结构有着结构简单，易于积分的特点，使得使用链式结构研究非完整系统比较有利。
链式系统: (2.8)
大多数非完整系统通过坐标变换和状态变换都可以化为(2.8)，文[25,26]分别给出 ， 时，系统(2.3)转化成链式系统的充分条件。
2.5 非完整链式系统镇定问题描述
镇定问题主要研究针对给定的控制对象 ，如何求取相应的控制律 以保证由此控制律和受控对象构成的闭环系统是稳定的或渐近稳定的问题。
本文主要针对三或四文非完整单链系统，研究反馈镇定控制律的设计问题 (2.9)
其中：z=[z1，z2，z3]T表示系统的状态向量，u=[u1，u2]T表示系统的控制输入向量。
2.6 非完整系统设计思路介绍
2.4.1 非连续时不变反馈
非连续时不变反馈方法又可以分为非光滑变换引起的非连续控制律、分段连续控制律及滑模控制律等。
(1)非光滑变换方法
文[27]利用 过程，对满足条件的一类非完整系统进行了巧妙的变换，将对原系统的非线性设计问题转变成对线性常定系统的设计过程，该方法充分利用了非完整系统的结构特点，是解决非完整控制系统反馈镇定问题的一种重要方法。