PSO算法的随机微分方程模型，即粒子群优化算法的连续时间模型，是由费尔南德斯女士得出。[ 15 ]用一个阻尼弹簧振子的物理类比，给出

                    (6)

和，当是本地和全局最佳位置的轨迹与第i个粒子有关，是自由变量，的初始状态。

和，当是本地和全局最佳位置的轨迹与第i个粒子有关，是自由变量，的初始状态。

介绍以下离散化方案  (7)

考虑当时，则我们有

同时，。

令，。因此，广泛应用的POS算法可以表示为（1），可以从中导出（8）。

考虑这种情况，。我们可以获得GPSO算法[13]，当

          (9)

同时

同样我们再写出公式（9）基于位置和速度如下

       (10)

正如费尔南德斯女士等人指出的。由GPSO算法控制粒子群的运动变得更有弹性和阻尼低，当时。

备注3。无论是PSO算法GPSO算法可以通过相同的连续时间模型得到。用费尔南德斯女士等人提出的GPSO算法的目的是，GPSO算法的搜索性能接近相应的连续时间模型，当时。

3。2。  粒子群优化的连续时间模型的分析来自~吹冰、论文|网www.chuibin.com +QQ752018766-

在这一小节中，我们将分析粒子群优化算法的收敛特性。令，当并将引入POS算法的连续时间模型，则我们获得

则有由此推导出      (11)

令，，则公式（11）可推出

      (12)

考虑停滞和确定的情况,额，即是稳定的且是连续的，则我们的获得

               (13)

如果系统参数满足，当时， 系统（13）是渐进稳定的。图2说明了系统是渐进收敛的，其刻度为对数。

备注4。很明显，系统（12）起始是不稳定的，如果是时变的，这促使我们考虑稳定系统（13）。此外，还可以看到，该系统（12）不具有良好的跟踪性能，这可能会导致更高的振荡收敛结果。因此，这一问题也促使我们引入控制理论对系统（12）进行修改，通过使用连续时间的粒子群优化算法对于一个给定的决策的。