bð1 — xÞ

aþ1

cð1 — xÞ   2

að1 — xÞ  2

VðtÞ¼ 

a þ 1    j/mj þ

2 /m  þ

2 y2 ð20Þ

Obviously,  VðtÞ P 0。  Along  the  closed-loop  system’s  trajectory,  we obtain

dVðtÞ

a _ _

2 a   2

dt     ¼ bð1 — xÞsigð/m Þ /m  þ cð1 — xÞ/m/m  þ að1 — xÞy2 y_ 2  ¼ —ð1 — xÞ  ðc/m  þ bsigð/mÞ Þ

ð21Þ

Claim 1。   If  /m  ¼ 0,  then y1ðtÞ ¼ 0 and y2ðtÞ ¼ 0。

。 y   t  。

。    1—x 。

This claim can  be  proved as  follows。 If  /m  ¼ 0,  which implies that ð1 — xÞy2ðtÞþ ay1ðtÞ ¼ 0, then

1ð Þ

y2ðtÞ

h    —  a

1

where h 2 R。 If h ¼ 0, then y1ðtÞ ¼ 0 and y2ðtÞ ¼ 0。 If h – 0, both y1ðtÞ and y2ðtÞ are not zero。 In terms of (19), we can obtain y_2ðtÞ ¼ 0, which means that y2ðtÞ ¼ y2ðt þ dtÞ ¼ h over the time interval ½t; t þ dt] for small dt。 Moreover, because of y_1ðtÞ ¼ y2ðtÞ ¼ h; y1ðtÞ ¼ —h 1—x – y1ðt þ dtÞ, which implies that /mðt þ dtÞ – 0。 Then, we have Vðt þ dtÞ > VðtÞ, which is contradiction according to (21) since V ðtÞ is a nonincreasing function for  any  time  t。  Hence,  we  have  h  ¼ 0,  i。e。  y1ðtÞ ¼ 0  and y2ðtÞ ¼ 0。  The  proof  of  this  claim  is   completed。

By Claim 1, the states of the system (19) will asymptotically converge to the origin。

Given  initial state y1 ð0Þ and  y2ð0Þ such that /m ð0Þ – 0, if there  exists a  constant k > 0 such  that

2       ;  The inequality  follows from the fact that /m   ¼ sigð/m Þ。

。 y1ðtÞ 。

Since  /m   ¼ ð1 — xÞy2 ðtÞþ ay1ðtÞ ¼ ð a   1 — x ÞfðtÞ,  where  fðtÞ ¼ 

y2ðtÞ

presents the system state, we  have

2 !

/2 T a að1 — xÞ

m  ¼ fðtÞ

að1

— xÞ    ð1 —

xÞ2

fðtÞ ð23Þ

。 2 。 2

Let  M ¼ a

að1 — xÞ